50. 数学关系是人造的么?

数学关系是人类创造的。虽然说所有关系都是思维的产物,但数学关系是其中最具典型性、最发人深思的关系之一。关于对关系的总体讨论,详见我的另一篇回答:“关系这个概念,是现实存在的,还是思维的产物? <https://www.yueyao1982.com/reasoning_logic_language/does_relation_result_from_reality_or_thought.html>

50.1. 数学给我们带来的疑惑

虽然一个刚刚学会说话的小孩就开始了解数字,开始从数数和个位数加减法开始了解数学,但数学关系到底是什么,却是一个令所有深入思考过这个问题的人都十分困扰的问题:

  • 数学的精确性问题。我们对经验世界基本所有的知识都是近似的,因为我们并无法精确地测量它们(例外的例子:量子化的物理量,比如电子的自旋)。在物理学中,这种近似可以被表现在:1)物理常数上,比如万有引力常数和精细结构常数;2)方程本身上,比如牛顿第二定律虽然用的是等号,但我们从相对论的视角来看,其实应该是约等号。但我们都知道,数学运算本身是不引入误差的,虽然已有误差会在数学运算中会被放大或缩小。那数学到底是不是来自于经验呢?如果不是来自于经验,数学又可能来自于哪里呢?

  • 数学与现实的关系问题。在目前以实用主义主导的学习氛围下,很多人把数学仅仅当成一个工具来学习。数学当然可以被当作一个工具,就像很多人把思维也当作工具一样。在这种意义下,就连我们的手和脚也可以被认为是我们的工具。但当我们学会了很多知识回过头来看的时候,可能会突然发现:数学好像和自然科学区别很大。数学研究并不需要实验、不需要测量,我们甚至可以完全精确地认识数学规律。而以解释自然现象为目的的现代自然科学,竟然是建立在这种“不符合科学研究范式的、不使用科学方法来检验的东西(数学只需要计算、推导和证明而不需要实验)”之上的。

  • 数学的客观性问题。这里的“客观”指且仅指:不同人在符号语言的层面上,可以对数学规律达成一致性的理解。这一点正是我们可以交流数学规律、学生可以学会并认可数学规律的根本原因。但这不意味着:1)在符号语言的层面之下,每个人的理解也是一样的:这就像是我们(假设都是非色盲)都可以用“红色”这个词来和别人交流他对颜色的感知,但是我们每个人对红色的感觉却不一定真的一模一样,而可能只是把那些不同的感觉映射到了同一个词上而已;2)数学有客观性不意味着它就同时有实在性:对此,我们在下一点中具体探讨。

  • 数学规律究竟是一种什么存在。数学作为一种客观性规律,它的客观性是从哪里来的呢?如果我们引入“实在性”,那这个问题就好理解很多:因为它是实在的,所以不同的人去看它都可以得到相同的结果。这是现代数学柏拉图主义者的看法。然而,引入这样一个实在性,虽然实用,但给数学基础本身却带来了更大的问题。作为一种“实在”,构成数学对象的“质料”是什么?数学规律又究竟存在在哪里呢?因此,如果引入实在性,我们就直接把数学基础转变成了无法探讨的形而上学问题。如果说把“实在性”附加到经验世界中的对象之上,既符合我们的直觉,又能帮我们理解一些问题(当然也引入了问题),那么把“实在性”附加到数学上去,那就既不符合我们的直觉,也无助于我们解决数学问题。这种方法是把一个本来可能被解决的问题,归结到一个谁也说不清楚的、无法被精确讨论的问题之上,并以此“终结”人们对这个问题的探讨。对于这种“本质”的探讨,详见我的另一篇回答:“有没有语言形容不出来的东西?

带着这些问题,我们现在就去探讨一下,数学对象究竟是什么,数学关系究竟是什么。

50.2. “1+1=2”带来的思考

要讨论数学关系,我们就必须先讨论数学对象。但数学对象是什么,也并非是一个容易回答的问题。

我们先来考查一下最简单的“1+1=2”。

  • 首先,数学的精确性问题又一次出现了。1+1 凭什么精确等于 2 呢?我们可以说“现实中的一个苹果加上另一个苹果等于两个苹果”,但是难道现实中这两个苹果一模一样吗?是一个苹果的质量加上另一个苹果的质量等于一个苹果(哪个苹果?)质量的两倍,还是一个苹果的体积加上另一个苹果的体积等于一个苹果(哪个苹果?)体积的两倍呢?如果运用到任何性质(比如质量和体积)上,这个关系都不成立,那么 1+1=2 有什么意义呢?如果把 1+1=2 应用于具体连续性的量,比如长度,那么我们在经验世界中又去哪里能找到两条长度一模一样的物体呢(找到的概率为0)?所以如果“1+1=2”面向的是经验世界,那么它根本就是一个无法被验证的关系,至于精确性那就更无从谈起了。看来,1+1=2 绝非一个简单的问题:如果我们能解释清楚 1+1=2 的精确性是从哪里来的,那么我们事实上就可以知道自然数运算的精确性是从哪里来的,以至于有理数、实数和复数这些从根本上来说是以自然数为基础建构出来的数的精确性是从哪里来的。

  • 即使从逻辑的角度来看,1+1=2 也十分奇怪。逻辑学的一个基本定律是同一律,但 1+1=2 是不符合同一律的:这两个 1 难道能指向同一个对象吗?那不就成了“一个苹果加上它自己等于二倍的它自身”这个无比荒谬的结论了吗?

  • 1+1=2 中的等号并不意味着“1+1”和“2”在任何一方面都相等,而只意味着它们的值相等。作为表达式,“1+1”由两个数字和一个运算符组成,而“2”由一个数字组成,它们怎么可能相等呢?

  • 1+1=2 并不适用于所有经验。比如我们在烈日下去数两块冰块,一秒钟数一块得到两块冰块,但如果一个小时数一块,那在数第二块冰块之前它可能已经化掉了。因此,在自然数的加减法中事实上包含了两个计数假设:1)我们在数数时,不管我们怎么数,所有的标准单元都是不变的:它们既不凭空产生也不凭空消失,总数是恒定的;2)我们在数数时,所有的标准单元都必须被数一次,而且只能被数一次。

看来,要理解数学关系,我们首先就要讨论数学对象。我们要搞明白“1”是什么,才能搞明白用“1”如何生成自然数,以及自然数之间的关系(比如大于、小于、整除、互素等等)究竟是什么。

50.3. 数学对象和数学关系的产生原理——以“1+1=2”为例

我们继续来思考“1+1=2”。这里的两个 1 必须指向两个彼此相同的东西,同时又不能指向同一个东西。或者在直观中,它们指向两个除空间位置以外,其他要素都相同的两个对象(这里假设所有对象都是静态的、不随时间变化的)。然而,我们在经验世界中能找到两个符合这个条件的对象的概率是 0。因此,数学不可能建立在经验对象之上。那数学对象是一种什么对象呢?答案是抽象对象。

“1+1=2”中的数学对象事实上是两次抽象化的结果。具体来说,它的生成原理是“抽象化——具象化——抽象化”:

  • 第一次抽象,是从诸多彼此相似却又彼此不同的经验对象中抽象出概念。人们有一种忽略不同细节而倾向于把相似的事物等同起来的倾向:我称之为相等倾向。一个婴儿见到了眼前的很多苹果,他就倾向于去忽略这些苹果之间大小、形状、颜色等方面的差异,认为它们在本质上是“一样的”,并得到了“苹果的概念”。在这个过程中,他把那些苹果之间彼此不同的细节,即“象”,都抽离掉,或者说抽象掉,然后剩下的彼此之间共有的东西,就是“苹果的概念”。在相等倾向的指引下,小孩儿同样可以形成“梨子的概念”,“桃子的概念”,等等。

  • 在两次抽象化之间还需要一次具象化。在这次具象化中,“苹果的概念”并不具象为经验世界中的苹果,而是在我们的脑海中,或者说是在“大脑的(时空)模拟器”中进行具象化。我们可以在脑海中想象除了空间位置不同,其他要素都相同的苹果。我们甚至可以把这种“脑海中的苹果具象”画在纸上来辅助我们的思维。这种用来辅助思维的苹果图画并不需要与经验世界中作为水果的苹果很相似,也不需要真的彼此完全相同(那基本是做不到的):我们的大脑知道这些苹果图画只是我们脑海中苹果的不完美的摹本,因此会把它们当作是一样的。我们可以把脑海中两个一模一样的苹果摆在一起,并把它们看成一个整体(这是组合倾向的结果)。我们同样也可以用梨子、桃子等概念在脑海中的具象化实例来实施这个过程。

  • 现在我们开始第二步抽象化。首先,我们把苹果、梨子、桃子之类的概念抽象化掉:我们把它们在我们脑海中彼此相等的具象化实例称为“标准单元”,用抽象符号 \(I\) 来表示。然后,我们用标准单元 \(I\) 进行组合,就依次形成了 \(\{I\}, \{I,I\}, \{I,I,I\}, \ldots\) 。需要注意的是,花括号在这里表示组合而不是集合。我们引入组合符号 \(\oplus\),并根据脑海中的具象化操作得到了 \(\{I\} \oplus \{I\} = \{I,I\}\)。接着,我们把标准单元本身也抽象掉,只留下在一个组合中 \(I\) 重复的次数,或者说我们定义计数函数 \(S(\{I\})=1, S(\{I,I\})=2, \ldots\) ,同时我们把组合操作 \(\oplus\) 映射为加法操作 \(+\),这样我们就由 \(\{I\} \oplus \{I\} = \{I,I\}\) 得到了 \(1+1=2\)

以上我们解释了 \(1+1=2\) 在认知上的发生过程。搞明白了这个过程,我们就可以回答以下问题:

  • \(1+1=2\) 的具象化不是“在经验世界中,一个苹果加上另一个苹果等于两个苹果”,而是 \(\{I\} \oplus \{I\} = \{I,I\}\),或者把 \(I\) 进一步具象化为“我们在脑海中彼此相同的苹果具象化实例”,得到了“在我们大脑的时空模拟器中,苹果概念的一个具象化实例和另一个具象化实例相组合,等同于两个苹果的具象化实例”。

  • \(1+1=2\) 的精确性来自于它的抽象性:不仅仅这个式子本身是抽象的,它们的具象化也同样是抽象的——它们是我们在脑海中具象化的结果,而非直接在现实中实体化的结果。在我们脑海中的具象化实例中没有任何我们不清楚的细节,因为那些细节在第一次抽象化过程中都被抽象掉了,在脑海中的具象化过程中也没有被添加回来(因为根本不清楚,所以无法被添加回来)。这样,我们才得到了精确的知识。顺便说一句,“抽象化”和“实体化(在经验世界中的具象化)”事实上是连结柏拉图所说的“可感世界”与“可知世界”之间的纽带。

  • 把“1+1=2”运用到经验世界中,事实上是一个近似的过程。比如我们在把它用到经验世界中具体的苹果上时,我们事实上会考虑经验中这两个苹果和我们脑海里那两个一模一样的标准单元(比如苹果概念的具象化),是否能建立一个很好的对应关系。对于“苹果”这种抽象层级最低的概念来说,这通常没有太大的问题。但换作更抽象的概念,比如“动物”,那可能就会出现问题了。我们可以说“一只动物加一只动物等于两只动物”,但要是我说“一只蚂蚁加一只大象等于两只动物”听起来就有点儿像抬扛,因为蚂蚁和大象与我们脑海中彼此相同的具象化相差太远了。在这个过程中,我们事实上进行了两次“隐式类型转换”:把蚂蚁和大象转换为抽象级更高的“动物”。如果没有这个“隐性类型转换”的过程,那蚂蚁和大象是不能相加的,因为它们不是同一个概念的具象化结果。同理,我们在说“一只苍蝇加上一个飞机等于两个飞行物”、“一块石头加上太阳等于两个物体”时,也会觉得很怪异。

以上,我们用最简单的例子“1+1=2”来讨论了“1”和“2”这两个数学对象是什么,加法运算是什么以及等于是什么含义。从这个讨论中,我们可以清楚地看出不管数学对象还是数学关系,都是人类创造的,因为它们都是抽象化的结果。

50.4. 对于其他数学对象和数学关系的简述

用上一节的方法,我们可以构造出自然数。这种方法与通过皮亚诺公理或使用 ZFC 公理化集合论来构造自然数是不同的:后者寻求一个合乎理性审美的理论架构方式,而本文的方法则是尝试去还原在一个人的认知历史中,自然数是如何被构想出来的。事实上,只有一个婴儿产生了 1、2 这些最基本的数的概念之后,我们才有可能帮他们把这些概念和语音、符号和文字对应起来,也就是说学会这些概念在语言中的对应表示。在此之后,我们可以用语言去启发他,指引他一步步去建构更为复杂的数学结构。

在上节,我们提到了关于自然数的一种关系:相等关系。除此之外,我们还可以定义大于关系、小于关系、整除关系、互素关系、同余关系等不同的关系。当然其中的一些还要我们先定义减法、乘法和除法这些运算,在此就从略了。

有了自然数,我们就可以把不带余数的除法泛化到任何两个自然数之间(除数不为0),从而产生了正分数集。我们再把减法泛化到任意两个正分数之间,产生了有理数集。给有理数集加上完备性要求产生了实数集,进一步把开方操作泛化到所有实数上,又产生了复数集。

用另一种组合方式——并置但不求和,我们就可以一步步得到向量、矩阵和张量。这里的关系就更丰富了,比如矩阵与它的行列式、特征值、特征向量、奇异值之间的关系,比如两个矩阵之间的相似关系。我们还可以用关系对矩阵进行分类,比如对称矩阵、正定矩阵、埃尔米特矩阵等等。我们实际上可以自由地定义关系,比如就算用矩阵左上角的元素来定义一种序关系也没有问题,但关键是一个定义出的关系有多大的价值,基于这种定义能发展出多么有解释力的理论体系。

关于数的建构的详细讨论,请参见:数、直观与时空

古典几何中的对象,比如点、线、面,也来自于抽象化。这种抽象化的基础当然是经验世界中的一些原型,比如我们可以在笔直的光束的启发下得到直线的概念,在星星的启发下得到点的概念,在叶片的启发下产生面的概念(要产生直线和面的概念,事实上还需要泛化:把局部的性质泛化到无穷的整体上去)。而之所以这些东西可以被抽象为点、线和面而不是别的东西,是因为点、线和面是符合人的直观形式的,甚至说是人的直观的基本构成形式。欧氏几何的公理之所以被大家所公认,事实上也是因为它准确地表述了人的直观方式。虽然我们看到的任何视野,都是透视图,但是当我们闭上眼睛对一块空间,甚至整个世界进行思考时,我们事实上用的是欧氏空间:我们绝不是把一堆基于不同视点的、近大远小的图景拼凑了起来(事实上难以拼凑),而是把它们“转换”成了欧氏空间的样子,用类似于“拼图”的方法得到了一个全景(“拼图操作”并不需要意识本身完成)。对此,我们在这里不进行深入的讨论。现代几何则不依赖这样的对象。用大卫·希尔伯特的话来说:“我们必定可以用桌子、椅子和啤酒杯来代替点、线、面”。

集合与集合之间的关系则是现代数学无论如何强调也不过分的重要内容,因为整个数学可以被建构在公理化集合论之上。有关集合的重要关系包括:属于关系,包含关系,映射关系等等。这些关系和集合的定义方法以及与、或、非等运算一起构成了朴素集合论的基本要素。公理化集合论里则只涉及集合,它用空集一步步地通过各种公理中的操作一步步构造出了数学中几乎所有的结构和关系:当然它在公理之外还需要一些一阶逻辑中的概念,比如全称量化和存在量化。集合的映射关系则让数学变得更加精彩,比如伽罗瓦理论在群和域之间建立了关系,黎曼猜想在 [公式] 函数的非平凡零点也素数分布之间的关系(这个关系尚待证明),等等。

以上这些关系,毋庸置疑,都是人类的创造。至于其他数学关系,比如分析和拓扑中的数学关系,当然也是如此,我们就不详细介绍了。

最后,我们稍微说几句有关数学推导和证明的有效性问题。

  • 数学的推导和证明是建立在一系列的步骤之上的。其中每一步都有定理或公理的依据:它们都是建立在公理或基本假设之上的结论,最终可以归结到公理上去;它们经过很多人的各种否定尝试的考验,被认为是正确的。因此,整个推导或证明过程是难以被否定的,也就是说,我们倾向于承认它的正确性(当然未来有可能会被发现有疏漏)。

  • 数学的精确性,一方面来源于上面说的数学对象的精确性,另一方面则来源于推理工具的精确性。逻辑的工具建立在同一和否定之上:矛盾律和排中律决定了一个命题和它的否定涵盖了所有可能的情况,彼此之间又没有重叠:这事实上是数学推导和证明之所以能做到完全精确的重要条件。

  • 数学规律的正确性不依赖于经验验证。数学规律面向的是概念和直观(上面我们说的模拟器)的世界,而不面向经验世界。因此,在经验世界中对数学规律进行证伪是没有意义的,无效的。比如我们对一个画在纸上的三角形的三个角进行测量,加起来等于 179 度,但我们绝不能因此就说,对于这个三角形而言,它的三角性内角和就正好是 179 度,而几何定理中说的 180 度只是近似。我们只能认为是我们的测量有误差,或者欧氏空间的假设不被满足,而不能去据此去否认欧氏空间中的定理。当然,经验世界中的测量可能会引导我们去发现我们计算或证明中的问题,但最终确定问题,必须要靠对计算、推导或证明的正确性检验,而不是靠经验中的观察和测量。

  • 因为世界性质的差异,面向经验世界的自然科学方法在数学中是无效的。在自然科学中,我们只要对很多情况做了检验,发现都符合理论,我们就可以(在极大概率下)认定那个理论的正确性了。在数学中则不同,即使我们对素数定理完成了前 1,500,000,000 个素数的检验,我们仍然不能说它是正确的。或者换个简单的例子,对于方程 \(x=\pi\),我们可以在实数集上取许多样,但这个方程成立的概率为0,也就是说我们基本不可能取样到让这个方程成立的那个实数。然而,我们不能因为我们在对实数的大量取样中都没有得到方程的解,就说这个方程不存在实数解。它的解虽然只是无穷多个实数中的一个,但它对于这个方程来说是非常重要的。

  • 物理定律用数学公式来表示,比如 \(\vec F = m \vec a\),事实上就产生了一个泛化的模型。虽然我们只在有限的样本点上检验过这个模型的正确性,但这个模型适用一切有物理意义的参数取值范围。正是因为用数学公式来表达科学规律,科学规律在根本上才有可能达到普遍性。

如果对抽象化和具象化的过程有进一步的兴趣,请参考《哲学的重建》中“抽象化、具象化与抽象建构”。关于其他相关问题,请参考《哲学的重建》中的其他章节。