41. 数学是人类的发明，还是发现？¶

先用一句话概括：数学是人类的发明还是发现，取决于我们如何定义“世界”。

人们之所以会对“数学是人类的发明还是发现”这个问题有疑惑，是因为人们一方面觉得数学是构造出来的（现代数学尤其会给人这种感觉，但初等数学事实上也是人的构造），因此应该是发明；但另一方面又觉得数学这东西，和一般说的“发明”又不太一样：抛除具体阐述时用的符号体系这些表面因素，不管谁去“发明”一个定理，都会“发明”出同样的结论，因此这结论并不会带有“发明者”的主观印记：这和卡尔·本茨发明出三轮汽车而戈特利布·戴姆勒发明出四轮汽车，显然是不同的。

要研究“数学是人类的发明还是发现”，我们首先就要去看看“被发现的事物”和“被发明的事物”有什么区别：

被发现的事物：在人类第一次意识到这个事物存在以前，这个事物就已经存在于世界里了。
被发明的事物：在人类第一次创造出这个事物以前（可以被重复创造），这个事物并不存在于世界里。

因此，一个事物究竟是被发现还是被发明，事实上也取决于我们怎样定义“世界”。

如果我们把“世界”定义为一切存在的事物所组成的集合，并且不包含其他任何东西，那么：“数学是人类的发明”。在这个定义下，一座山峰是被发现的，一颗星星是被发现的。而任何的数学定义和数学规律，在它被首次提出来之前，并不存在于世界中：事实上它被提出来之后也只存在于“概念世界”或者说是“抽象世界”里，而不存在于“外在世界”里，虽然我们可以使用数学来对外在世界进行解释。同理，蒸汽机和电灯泡这些一般被认为是发明的东西，在这个定义下也仍然是发明。
如果我们把“世界”定义为一切可能存在的并具有客观性的事物所组成的集合（客观指对于不同主体的观测不变性或构建不变性），那么：“数学是人类的发现”。在这个定义下，事实上没有任何东西是发明。蒸汽机是发明吗？在它第一次被设计出来并成功运转之前，如果世界里就存在这个东西，那它也会具有同样的功能，它具有这个功能是由物理规律决定的，而不是由发明家任何的想法和行为决定的：人类只是在“无数种利用蒸汽会做功的可能结构组成的集合”中，找到了一种。所以在这个定义下，蒸汽机是被发现的，灯泡是被发现的，数学当然也是被发现的。

因此，当我们使用一个词语或分析一个命题时，要达到精确性，不仅要明确它的定义，而且要明确这个词的“世界指向”。

比如我们定义了什么叫三角形，什么叫内角和，那“三角形内角和等于 180 度”是否正确，事实上还取决于这些概念和命题指向哪个世界，是欧氏几何的世界，还是某种非欧几何的世界。在数学中，对“世界”的限定过程是通过“添加彼此自洽的条件”来完成的。
比如物理学家讨论空间，指向的是“他所探讨的物理模型所对应的空间”。因此，他们不管得到关于那个空间的什么样的结论，也丝毫不能影响欧氏几何的正确性，因为这两个“空间”事实上是不同的、彼此没有依赖关系的世界（虽然我们在两个世界之间可以建立映射）。

在具体学科的研究中，一个词语或一个命题的世界指向，一般是清楚的：这是由这门学科的研究范围所限定的。然而，在我们使用日常语言时，我们一般不会做出这样的限定，因此经常会陷入模棱两可、似是而非的讨论。要在日常语言中达到精确性，我们除了需要精确定义它们（当然这很难，甚至不可完成），还需要明确词语和命题的世界指向。对于这个问题的进一步讨论，请参见《哲学的重建》，特别是第四章“多重世界概述”。