19. 阿基里斯和乌龟的悖论真的不能用常规逻辑推翻吗?

很高兴看到知乎上有人问如何从逻辑的角度来分析阿基里斯和乌龟的悖论。这个问题虽然从现代数学的角度来看很简单,在哲学上却是一个发人深思的问题。我给出的答案是:“这个悖论不能用常规逻辑推翻”。虽然常规逻辑可以发现它的推理漏洞,但有漏洞的推理不一定就得到错误的结果,所以我们无法因此推翻芝诺的结论。但这决不是说逻辑是有问题的,而是我们并没有给纯逻辑足够的信息来的推理,而那足够的信息则是用数学来描述的线性时间结构。下面我们就具体来论述这个问题。

很多受过高等教育的人都觉得既然数学已经解决了这个问题,那就没有什么可思考的了,因为数学已经无可辩驳地告诉了我们答案。然而,如果我们虽然从数学上理解了,但却总觉得通过其他的方法思考,得到的结果与数学给出的结果不符,那也不能说我们就完全地理解了阿基里斯和乌龟的这人悖论:我们并没有把我们的逻辑磨砺到与这个问题相适应的程度。不管是数学还是科学,都追求解释系统的自洽性,而再往上追溯,就是逻辑对自身的自洽性的要求(虽然可能达不到)。阿基里斯和乌龟的悖论,可以说是历史上最伟大的悖论之一。它用非常简明地推理得到了一个与经验事实完全相反的结论。这个悖论正给我们提供了一个契机,去研究一下我们的大脑是如何分析和解决问题的,以及它解决问题的方法可能有哪些潜在的问题。

在哲学讨论之前,我们先在数学上讨论一下阿基里斯和乌龟的问题,来让我们更清晰的认识这个问题。

19.1. 问题描述和数学解释

我们先简单描述一下阿基里斯和乌龟的悖论。芝诺争辩说,阿基里斯永远也追不上乌龟,因为在他建构了一个无限的步骤,而且在这个无限的步骤里,阿基里斯每次都没有追上乌龟。他构造的方式很简单:假设现在乌龟在\(x_1\)位置而阿基里斯在乌龟后面,那么等阿基里斯到达\(x_1\)了,乌龟又往前移动了一段。我们再假设到了乌龟现在移动到了\(x_2\),那么等到阿基里斯到达\(x_2\),乌龟又往前移动了一段。如此往复,只要在乌龟在\(x_n\)处时阿基里斯在乌龟后面,那么当阿基里斯到达\(x_n\)时,乌龟已经到了\(x_{n+1}\),因此当乌龟在\(x_{n+1}\)时,阿基里斯还在乌龟后面。而已知\(n=1\)时,阿基里斯在乌龟后面,所以根据数学归纳法,任取\(n\in\mathbb{N}^+\),阿基里斯都在乌龟后面,也就是没追上乌龟。芝诺由此得出,阿基里斯永远追不上乌龟。而这与我们的日常经验相反,更与一个简单的追及问题的解严重不一致,所以被称之为悖论。

那芝诺这个结论对不对呢?我们只要学过无穷级数,就很容易知道芝诺关于“阿基里斯永远追不上乌龟”的结论是错的。为了方便,我们在本文中假设阿基里斯开始在\(x=0 \, \text{m}\)处,乌龟在\(x=1 \, \text{m}\)处,阿基里斯的速度是\(2\, \text{m}/\text{s}\),乌龟的速度是\(1\, \text{m}/\text{s}\)。当然他们速度不可能差得这么小,但用以上这个设定既方便,又足以说明问题,因为它在本质上和芝诺悖论是一样的。下面我们为了方便,把所以单位都省略掉。阿基里斯到达\(x=1\),用了\(\frac{1}{2}\)秒,乌龟又往前移动了\(\frac{1}{2}\)米,在\(x=1.5\)处;然后阿基里斯从\(x=1\)移动到\(x=1.5\) 历时\(\frac{1}{4}\)秒,乌龟又移动了\(\frac{1}{4}\)米,所以在这无穷多步里,乌龟一共走了

\[\sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{2}\right)^n=1\]

而阿基里斯走了

\[\sum_{n=0}^\infty \left( \frac{1}{2}\right)^n=2\]

所以当\(n\rightarrow \infty\)时,阿基里斯和乌龟都在\(x=2\),而所用时间为

\[\sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{2}\right)^n=1\]

也就是1秒。

于是,数学推导告诉我们,芝诺悖论算不上悖论,因为不管我们是用常规方法算(小学数学中的追及问题),还是像芝诺这样算,我们得到了相同的结果。

19.2. 一些作为哲学思考基础的数学思考

数学的解释已经清楚的告诉了我们,我们在使用芝诺的推理方法时,一般都错在哪里:虽然芝诺给我们设计了无穷多个步骤,但是完成这无穷多个步骤并不需要无穷的时间。任何学过无穷级数及其收敛性的人都可以很容易理解这一点。如果无穷多项的和必然发散,那研究无穷级数就远远没有那么大的意义了。而芝诺悖论的有趣之处是,它其实为我们提供了一种通过构造的方法来求解无穷级数的方法。

我们换个角度来看,就连不需要无穷级数都可以理解了。比如我们在\([0,2]\)这个区间上做划分:每次都把最右面的区间平均分成两份。这样我们可以得到了无穷次的操作:这正是庄子说的“一尺之捶(通棰),日取其半。万世不竭”。而这个操作得到的所有结点都和上面乌龟所在的位置是一模一样的,而所得的所有区间又依次是阿基里斯每次移动的距离。所以我们要是从“外部”来看,也就是跳出那些具体的区间用一个“上帝视角”来看,就很容易理解这个悖论。但芝诺的狡猾之处,恰恰是他让我们从内部去看:他让我们“生活”在那些区间里,让我们有一种永远也无法跳出去的感觉,就好像那个实际上距离很近的\(x=2\)是永远都达不到的一样。

19.3. 对芝诺悖论的哲学思考

好了,经过我们以上的铺垫,我们终于可以开始正式讲讲哲学了。芝诺为什么让我们感到,如果我们从内部去看,阿基里斯永远也追不上乌龟?为了解答这个问题,我们现在就来思考一下,我们是如何思考的。比如我们思考一个物理问题:光滑平面上两个小球的碰撞问题。我们一般会把这个过程分为三部分:碰撞以前,碰撞过程和碰撞以后。虽然在实际上,碰撞以前和碰撞以后这两个过程,经历的时间比较多,而碰撞过程是非常短暂的,但我们在分析这个物理过程时,却只会用非常短的时间来想碰撞以前和碰撞以后这两个过程,因为它们太简单了,而把大部分时间都用在思考碰撞过程,为此还可能需要联立方程来求解。这很好地说明了我们是怎样思考问题的:人的大脑中有一个内禀的“模拟器”,我们可以用这个“模拟器”进行推理,来模拟物理问题,来模拟几何图形,等等。但这个模拟器在模拟一个物理过程时,或者任何经验事件时,一般都不是按客观时间为基础来确定一个速度来匀速模拟的。我们想让哪里快就让哪里快,想让哪里慢就让哪里慢,甚至可以让时间停止甚至反向。事实上,人对时间的感受是很不精确的,我们在等人是会觉得时间过得很慢,在玩得高兴时觉得时间过得很快,在睡觉时经常虽然睡了很久但觉得只是一小会儿。我们一般要借助一些具有周期性的事件来帮助我们得到比较准确的时间。

以下是笛卡尔对我们上面提到那个“模拟器”的描述:

“举例来说,当我想一个三角形时,我不仅领会到这是一个由三条线组成的形状, 而且除此之外,由于我的精神力量和精神内部的活动,我也把这三条线看成是出现在面前的, 而这正是我所说的想像。如果我要想一个千边形,我当然领会这是一个由一千个边组成的形状, 和我领会一个三角形是仅仅由三个边组成的形状同样容易,但是我却不能像我想一个三角形的三个边那样想一个千边形的一千个边, 也不能(姑且这样说)用我精神的眼睛把一千个边看成是出现在我面前的。而且虽然当我想物体性的东西时, 我总习惯于使用我的想像,于是在我领会一个千边形时,我模模糊糊地表象出一个什么形状; 不过这个形状显然并不是一个千边形,因为这个形状跟我想一个万边形或别的一个有非常多的边的形状时所表象出来的形状没有什么不同, 而且决不能用它来发现千边形和别的多边形之间的差别。”

——《第一哲学沉思集》

勒内·笛卡尔 著,庞景仁 译

他很好地从另一个角度描述了我们那个“模拟器”(笛卡尔把它称为“精神的眼睛”)的局限性。

所以,我们为什么会觉得在芝诺的那个设计里,阿基里斯永远追不上乌龟呢?最主要的原因就是我们那个模拟器的时间感受问题和模拟速度问题。我们可以告诉那个模拟器,模拟得快一些,然后再快一些,但到了一定的速度就到了极限,无法再快了。这就像人类的眼睛无法分辨太快的周期运动一样:看起来只是一团的感觉。而芝诺强迫我们用这种模拟器一步一步地推,给了我们需要无限长时间的错觉:因为我们的模拟器的速度有一个上限,我们对小距离的感知也有一个下限。因此,我们用这个模拟器来模拟这个来自经验的问题时,无法与经验完全相符。我们用我们大脑中的模拟器去模拟无穷多个步骤,必然要用无穷的时间:这就是我们犯错的基础,因为我们把我们的模拟器完成无穷个步骤需要的无穷的时间(正确的结论),泛化为在经验世界中经历这无穷多个步骤需要无穷的时间(错误的结论)。

然而,芝诺真的就完全错了吗?我之所以在正文里到现在还没有直接回答题主“阿基里斯和乌龟的悖论真的不能用常规逻辑推翻吗?”这个问题,就是因为,答案是不能,而且纯粹地从逻辑来说,我们也不能否定芝诺的答案。有人说,你上面说了一堆,不就是要否定芝诺关于阿基里斯追不上乌龟的说法吗?确实是这样,但那里有一个被隐藏的前提:时间是线性流动的。而这个前提并没有被包括在逻辑里,但它却被包括在数学解释里。而要描述什么叫线性流动,我们就不得不借助于数学。

试想,如果存在一种智能生物,他们对时间的感觉是非线性的,更具体的来说,我们感觉的时间(\(t\))和他们感觉的时间(\(T\))之间有如下的映射\(T(t)\):(假设阿基里斯和乌龟从\(t=1\)这个时刻开始赛跑)

\[T(1)=1, \quad T\left(1+\frac{1}{2}\right)=2, \quad T\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)=3, \ldots\]

它最自然的一个解是

\[T=1+\log_2 \frac{1}{2-t}\]

那样的话,我们时间体系中的\(2\)就是他们时间体系中的无穷。因此,在那个时间体系里,阿基里斯确实是永远也追不上乌龟的,因为2这个时刻在他们那个时间体系中,永远也达不到。在那里,芝诺的答案是正确的。把分母中的\(2\)换成任何 \((1,2)\)之间的数,芝诺的答案也是正确的。

如果把以上的过程反过来想想,“时间是否有一个起始”这种问题其实也是与生物的时间感受有关的:在一种时间感受系统中有一个奇点式的起始,可以等价为另一种时间感受系统中的没有起始。如果在我们的时间感受系统中确实存在宇宙大爆炸,那它在另一个时间感受系统中那却完全可以是时间上的负无穷。

所以芝诺悖论从纯逻辑上,是无法被证明是错误的:虽然它确实是有逻辑漏洞的:它把步骤上的无限泛化成了时间上的无限,但我们无法证明它必然是错的。泛化得到的结果也可能是正确的:这正是很多有价值的想法的来源。我们无法纯粹从逻辑上来证明芝诺悖论是错的,不是因为逻辑不够强大,而是因为纯粹逻辑没有一个时间标尺,而时间标尺必然依赖于数学,一般也要符合我们对时间的感受。而人对时间的感受是什么样的,并不是用纯粹逻辑来描述的,而是用数学来描述的。

如果对这些问题有进一步的兴趣,欢迎阅读《哲学的重建》