20. 抽象化、具象化与抽象建构¶
20.1. 抽象化总论¶
抽象化，简而言之，就是从相似的对象中得出共性，也就是把“概念”从具体的形象中抽离出来。 所以，要想进行抽象化，首先必须要有大量的、具体的对象。 然后，比较倾向引导我们在它们之间进行比较，来得知哪些是相似的，哪些是不相似的。 进一步地，我们运用相等倾向，把类似的对象认定为（某种意义上的）相等，我们就把这个类称为概念。 我们一般会赋予概念一个名字，但是没被赋予名字的概念也可以存在：事实上，我们是先悟到了存在一个概念，而且这个概念是有意义的，然后我们才去寻求给它起一个恰当的名字。 既然概念可以用来指代所有那些对象，它就不包括那些对象之间互不相同的细节：这个抓住共性而忽略其他个性的过程就被称为抽象。
相等倾向让人们把原本不同的对象等同起来：比如实际的苹果和画中的苹果，都被我们称之为苹果。 在这个过程中，意识的下属部门忽略了它们之间不同的细节，而抓住了它们其实有限的相似之处。 至于我们具体会认为什么样对象相等，是由意识的某些下属部门的具体算法来决定的：从“我们用一个词来指代不同的对象”这种现象中，我们可以推测这个算法有什么性质。 因为抽象的过程把所有不相关的细节都忽略掉了，所以经过抽象化的对象就可以被认为是真正相等的了。 虽然它们在空间上仍然不相等，但我们的大脑非常倾向于忽略它们占据的空间不相等这个事实： 我们从来没有见过一个上学前的小孩去纠结这种问题，虽然这问题其实最晚在他开始数数时已经潜在地出现了。 这大概是因为加上这个严格条件，一物只可能与其自身相等，以致得不出任何真正有用的结论，理性的构建活动也会大大地被限制。 比如欧氏几何中一般指的两条线段相等，只是要求它们经过任何的平移和旋转操作后重合，而不要求它们一开始就必须重合。 几何对象之间的全等也是如此。 通常意义下的向量相等，也只要求两个向量的长度和方向相同，而并不要求它们重合。 在这些情况下，我们都经常无意识地放宽了相等的条件，使得相等关系可以有更广泛的外延，进而我们的逻辑就有了更多的建筑材料。 当然我们也可以定义另一种意义的相等，要求它们完全重合，比如使用强制要求所有对应点的坐标都相等，我们就很容易实现这一点。
我们说一个苹果加一个苹果等于两个苹果，从严格的意义上来说，隐含了这两个苹果是除了所占空间外都完全相同的两个苹果，也就是两个被抽象化了的苹果，概念上的苹果。 所以这结论不再适用于具体的苹果：比如说“一个具体苹果的体积加上另一个具体苹果的体积等于一个（哪个？）具体苹果体积的二倍”就是荒谬的。 虽然我们可以用“具体的苹果”来表示“抽象的苹果”，比如用（我们认为）全等的苹果图形来代表“抽象的苹果”，但我们没有什么必要非要使用看起来像苹果的图形，因为在进一步的抽象中，这将变得不可能。 有了“苹果”和“梨子”的这种第一层次的抽象，我们可以在“苹果”之间做加法，也可以在“梨子”之间做加法，但我们不能在“苹果”和“梨子”之间做加法。 但是如果我们进行了进一步的抽象，把它们与其他水果组成“水果”这个更抽象的概念，我们就可以在“水果”之间做加法，即使一个其实是苹果而另一个其实是梨子。 我们完全可以把一个苹果和一个梨子放在一起称之为两个水果，也完全可以把一只猫和一只狗放在一起称之为两只动物，甚至可以把一个苹果和一只猫放在一起称之为两个物体。 在这个抽象过程中，感知细节被一步一步地“封装”，抽象级较低的概念尚可（但不必要）保留一点“抽象形状”之类的对象标签，而抽象级较高的概念就完全变成了“黑盒”一样的存在， 虽然我们仍然可以用一个任意的图形来代表它。
从个别的对象化，到对象的比较，到忽略细节得到类和概念，这一系列过程都是化繁为简、不甚严格的。 这是因为对象化倾向、比较倾向与相等倾向，在认知发生顺序上先于否定倾向。 但概念一旦产生，人们却倾向去用另一套严格的标准来对待概念：这时否定倾向就开始起作用了。 思维会反复地考查，这个概念是否合理，由众多概念组成的概念体系是否合理，即是否有被否定的可能性。
20.2. 抽象过程：外延法和内涵法简述¶
理性思维为了在简单句（意识操作的基本思维单位的体现）的这个限制内，进行涉及更多对象的、更广泛的思考，就需要用集合的方法，把多个对象“包装”成一个集合（或类）：这个集合只占一个主语或宾语的位置。 这样，我们就可以在研究一个句子时，实际涉及很多的具体对象，甚至普遍的对象。 形成集合的方法有两种：内涵法和外延法。 外延法也称列举法：在这种方法里，我们通过列举集合中所有的元素来定义集合。 内涵法也称描述法：在这种方法里，我们先给出一个或几个性质，再把具有这个性质的元素的全体定义为这个集合。 在内涵法里，定义集合所用的“性质”，其实就是抽象概念。
从认知发生顺序的角度来看，一种重要的抽象化方法，是一个从外延法上升到内涵法的过程。它经常被用在我们常说的“从感性认识到理性认识”的过程中。
我们先通过比较，把我们认为类似的元素用外延法组成一个集合。这个过程就是比较倾向和相等倾向的结果。在这一步，“相等”的意象已经产生，虽然我们尚未精确定义它。 这时，抽象化已经初步完成。人们已经在使用这个概念时可以凭直觉决定是否要扩充这个概念的外延：这是泛化倾向的结果。
如果我们继续寻求精确的定义，我们就会继续去反复考查那个“类似”的东西究竟是什么，努力让“类似”收敛到“相同”。在考查的过程里，我们可能会排除一些元素，或者加入一些新的元素。推动我们这样做的，是否定倾向的评判功能和逻辑在动力上的本质倾向。
最终我们找到了那个“相同”的东西，即一个“抽象概念”。使用这个“抽象概念”，我们就可以用内涵法来定义集合：这个集合经常会容纳比我们研究过程中使用的“外延集合”更多的元素，甚至包括我们从未见过或想过的元素，比如一个非常大的、没有人具体想到过的自然数。
如果抽象化发生在概念世界的内部，则我们既可以独立使用外延法，又可以独立使用内涵法，也可以像在上面这个过程中这样联合使用两种方法。
需要注意的是，上面的过程是一个“显式”的“语言过程”。 而在实际的发生的抽象化里则不一定如此。 这个过程的很多细节经常是被意识的某个下属部门所完成的。 我们在日常生活中，我们的意识一般并不会“显式”地罗列对象，不会“显示”地比较那些对象，也不会去判定哪些对象比较相似。 虽然我们如果愿意，我们也可以那样做（比如在科学研究里），但这样的抽象活动从认知发生顺序的角度来看不具有本质意义，因为它必须要依赖并非这样产生的概念，才有可能发生。
当然，在日常生活中，特别是原始人的日常生活中，人们对这个过程中的“相等”的要求也经常不甚严格和清楚，那个“概念”也经常不甚准确甚至可能自相矛盾。 这个过程中“类似”和“相同”都是人的主观感觉，而不一定是科学意义上的“相关”和“相等”。 事实上，即使在科学中，“相等”也一般是被定义在“某种意义”下的，只是这种意义被明确地表达出来了： 比如在模运算里，如果我们取\(2\)为模，那么所有的奇数都相等，所有的偶数也都相等。
20.3. 悟性¶
人们从纷繁复杂的事物里“体会”到相似性的能力，在中国文化中经常被称为“悟性”。 这种被体会到的“相似性”事实上就是“概念”。 刚刚被悟到的概念一般是“模糊概念”：某种相似性已经被某人体会到，但他可能甚至尚未找到一个明确的词汇把它表达出来。 和“精确概念”相比，这种“模糊概念”缺乏明确的内涵和外延，甚至难以用语言明确地传达，但是因为它更符合逻辑在动力上的本质倾向，所以人们倾向于认为它更为本质。 它当然可能是有问题的：如果我们后来使用切分倾向和否定倾向对它进行分析验证，发现它完全不足取，我们就可以抛弃它； 如果我们发现它有一定的优点，我们就可以使用调整倾向对它进行不断的改造，直到它成为了一个明确的、有效的概念。
悟性的重要性体现在我们几乎所有的思维活动中，包括科学、数学、哲学、艺术等。 悟性是我们在所有这些领域中“天赋”的重要组成部分。 认识到一种新的概念，相比在新概念上建立逻辑体系，是更具有原创性的工作，但我们也不能片面地强调它：
一方面，我们必须承认，与感官世界、直观世界甚至是物理世界直接相关的基本概念难以被完全地精确化，比如“苹果”、“\(1\)”、“直线”、“能量”等。 可以完全精确化的概念，一般是关于概念的概念，而这正是完美逻辑作用于概念所产生的结果：这是因为，“概念”本身没有细节而“完美逻辑”本身没有谬误（我们的一种相信）。
另一方面，我们不能仅仅满足于“模糊概念”：它经常是玄而又玄、难以捉摸的。 如果我们过多地使用“模糊概念”，人们之间就难以达成明确的沟通，或者说沟通变得更需要“默契”和“心有灵犀”：这不利于思想和知识的深化、传承和发展。
即使在可以获得相对精确概念的领域，我们也不能过于轻率地摒弃“模糊概念”，因为这些“模糊概念”为我们的提供了大量用来思考的原始材料。 没有这些原始材料，意识就无法对它们进行提炼改进来形成精确概念。 比如，能量，在我们没有明确地知道如何去测量它以及它在物理过程中的转化规律之前，是一个非常模糊的概念。 在古人的脑海里，能量，可能是一种“潜在的力量”：它不一定被称为能量，也不需要和物理学上的能量概念相同，比如在道教中被称为“气（炁）”。 再比如，漫画和动画里的“能量”可以被小孩轻易地理解，大概也是被理解成为一种“潜在的厉害或力量”吧。 但不同文化和不同部落里的古人，对“能量”这个概念的细节难以形成一致的观念。 很多古老神话中的神，或者部落中的图腾，都包含有对那个“神”或者“图腾”的能量的崇拜（另一个重要方面是对它们“能力”的崇拜）。 一个在一种文化里被崇拜的、被神化的、具有神奇能量的动物，在另一种文化里却可能仅仅是一种非常普通的动物。 在现代物理学里，我们虽然仍然不能精确地“定义”能量是什么，但我们精确地知道如何测量各种形式的能量，我们也知道它们之间的转换关系和守恒定律。 这远比用大而化之的方法来描述“什么是能量”有意义得多（这种意义的来源是否定倾向的评判功能）。
20.4. 抽象的层次¶
我们在完成抽象化后，就可以使用我们得到的抽象概念来进行进一步的抽象化。 这样我们就得到了不同抽象层次的概念，比如抽象层次依次提高的家猫、猫属、食肉目、哺乳动物、羊膜动物、脊椎动物、后口动物、动物。 抽象层次越高，则包括的“象”就越少。 比如我们在谈论一只具体的猫时，可以谈论它的花色和毛长等特征； 我们在谈论“家猫”这个概念时，头脑里大概只有一个猫的轮廓，而不包括花色和毛长那些具体特征了； 我们在谈论“哺乳动物”这个概念时，会大概有一个“有头、躯干和四肢，经常有毛发”的意象，虽然事实上也存在海豚和鲸这些与这种意象非常不符的哺乳动物； 我们在谈论“动物”时，则很难产生任何包含很多细节的意象（假设我们已经见过很多不同种类的动物）。 我们在数一只猫、两只猫、……的时候，脑子里可以浮现出抽象化的猫的意象， 而我们在数一只动物、两只动物、……的时候，我们却毋宁使用点或者长方形之类的通用意象，虽然用一个具体的动物形象来代表也并非不可（在这里抽象概念被具象化了）。
需要注意的是，虽然我们可以通过一条具体的“抽象链”从低层次的抽象一步一步地得到更高层次的抽象，但是可以得到一个抽象概念的“抽象链”有很多：人们最初使用的抽象链并不一定是我们今天在教科书中学到的那一个。 比如“动物”这种高度抽象的概念至少在几千年前就有了（事实上连人之外的高等动物都大概应该有“动物”的概念），但“猫科”这个科学概念在1817年才被正式确立。 古人经常会作出在现代人看起来不正确的抽象化和具象化，比如把生物划分为，或者说具象化为胎生、卵生、湿生和化生四类， 但他们对“宏观生物”这个概念的整体认知，却不见得有那么荒谬。 他们甚至对微生物也不是完全没有认知，只是他们在没有现代科学技术手段的条件下，无法真正认识微生物。 尽管如此，他们还是要用一些概念来表达他们认识到的、与微生物有关的存在，比如把某些微生物归到“毒”、“邪”、“曲”这些概念里。
因此，我们运用认知发生顺序原则并结合大量的事实就可以知道，并非越抽象的概念产生的就越晚：即使在相关的概念之间也是如此。 在中国文化中，极为抽象的“道”和“阴阳”这些概念在先秦时期就有了。 类似的例子还有印度早期吠陀文化中的“梵”，古希腊哲学中的“逻各斯”，等等。
20.5. 第一类抽象：以感官对象为基础的抽象¶
这类抽象以很多感官对象为基础，抽象出抽象概念，比如我们从很多具体的苹果抽象出“苹果”这个概念。
在这个过程中，认定两个对象“相等”的是意识的下属部门而非意识。 详细来说，“苹果”的内涵是什么，并不是由意识本身来决定的，而是由意识的下属部门来决定的，亦即， 意识并不明确地知道{苹果}这个集合到底包括什么，而只能是每见到一个实例，由意识的下属部门来告诉意识，这是不是一个苹果。 当然，理性思维一般并不满足于这样做：它会去“调整”这个自己不明确知道的“定义”，即删除难以言述的内涵并增加可以明确表达和验证的内涵，来使得意识可以独立地验证“这是一个苹果”。 然而，这种定义不见得就比原初的“定义”高明。
首先，明确的表达给了否定倾向机会，去明确地否定这个定义。
比如《名哲言行录》中记载了一个著名的故事。柏拉图曾经把人定义为“没有羽毛的二足动物”，结果第欧根尼把一只鸡身上的羽毛全部拔光，并宣布：“这就是柏拉图所说的人！”。 后来柏拉图又在原定义的基础上增加了“有宽且平的指甲”。 有趣的是，比柏拉图稍晚的中国哲学家荀况在《荀子·非相》中说：“然则人之所以为人者，非特以二足而无毛也，以其有辨也”。 但是，按这种说法，植物人就不能被称之为人了。
比如富兰克林说“人是制造工具的动物”。然而现代生物学家发现，黑猩猩和乌鸦也会制造工具。
因此，对于从感官对象抽象而来的概念来说，任何只抓住了几个区别于其他种类对象的特征来作出的定义（比如亚里士多德“属加种差”的定义方法），都是没有说服力的，因为否定倾向会不断地去寻找或者构造反例来否定它。
从更本质的角度来说，这种定义之所以可以被证伪，是因为对于这类概念来说，具有最终决断权的是意识的下属部门，而不是意识，虽然意识可以引导意识的下属部门对这个概念的“定义”进行“更新”。 如果不是这样，比如柏拉图对人的定义是有决断权的，那么我们就必须承认“那个被拔光羽毛的鸡是人”而且不能持任何异议。 可是实际情况却是，任何人，包括柏拉图自己，都觉得这样做是荒谬的。 这正说明了意识的下属部门给出的否定的“力度”，比意识按定义给出的肯定的“力度”，要强得多。
20.6. 第二类抽象：以概念为基础的抽象¶
这类抽象以概念为基础，抽象出更为抽象的概念。 比如我们以具体的数为基础，抽象出数集。 这种抽象化与第一种抽象化有本质的区别：具有最终决断权的是意识，而不再是意识的下属部门。 这是因为，以概念为基础产生概念的过程，是意识自身的行为，虽然在这个过程中，意识的下属部门也在起作用，比如从记忆中调取数据传达给意识。
在这里，我们首先需要注意一点。 我们说以概念为基础产生的概念，其内涵是由意识决定的：这里的“内涵”只包含这个概念的直接下属概念，而不包含这些下属概念的所有具象化对象。 比如，我们可以明确地定义“家具”，比如把所有家具的类别都列举出来，比如{桌子、椅子、立柜、沙发……}。 如果这是一个有限的集合，我们就说这个家具的定义是清楚的。 然而，这个定义却只涉及组成家具的各个元素概念，去不直接涉及各个元素概念本身是什么：比如它并不规定一个经验世界中的物体是否会被对象化成一个桌子， 比如一个经常被我们用作桌子功能的宽阔窗台究竟是不是桌子。
另一点我们需要注意的是，决定概念指向的主要是一种先入为主的评判。 我们可以把一个新造的词定义为任何东西，却不能对一个我们从孩童时代就经常使用的词这样做，除了我们有足够充分的理由。 比如我们不能随意地把马定义成鹿，把鹿定义成马。 如果我们从孩童时代就经常使用一个概念，而这个概念本身是由意识的下属部门定义的，我们就倾向于更依赖意识下属部门的评判，而不是一个任造的“新定义”的评判。 比如我们可以随意地对“动物”下一个定义，强行让它不包括马：定义本身虽然没有问题，但所有人大概都会觉得这个定义是荒谬的。
我们后验地从形式上来看，可以把得到更高层次抽象对象的方式分为两种，即外延的方式和内涵的方式。
20.6.1. 方法1：以规定内涵的方法来进行抽象¶
在使用内涵的方法进行抽象时，我们定义这个更高层次的抽象对象所包括的抽象对象应该具有的性质。 比如“动物”这个概念就是以概念为基础抽象出的概念。 人对“动物”这个概念最粗浅的印象就是“会自主地动”：这也正是“动物”这个词在造词上的涵义。 因此在很长时间内，人们都认为海绵是植物而不是动物，因为我们很少会观察到它自主地动。 后来人们发现了动物应该具有的更本质的内涵，比如动物应该具有“真核生物”、“消费者”、“没有细胞壁”等特征，然后又发现海绵恰恰符合这些内涵，因此海绵又被归为动物。 现在我们一般认为海绵是动物，但也有一些学者认为海绵应该被从动物界中独立出去，但它无论如何它也不是植物。 相反，细菌的鞭毛虽然可以自主地运动，我们却不认为它是动物，而把它归为原核生物。 虽然“动物”的科学定义可能会违反我们对动物这个概念的直觉（比如从日常观察的时间和尺度来说，海绵不会动而捕蝇草会动），但我们不得不承认，相对于对“人”的定义，在定义动物这个由概念抽象而成的概念时，理性定义的决断权不再位于意识下属部门“定义”的决断权之下了。
使用内涵的方法进行抽象，人就需要更高的思维能力，因为内涵之间可能是互相矛盾的。 比如罗索悖论的产生原因，就是定义集合的内涵，是有潜在矛盾的。
一个抽象概念产生之后，我们经常会对其进行调整。 概念的外延经常会被调整，而这经常是我们对概念的内涵调整的结果。
比如对于太阳系行星这个概念，人们最初认知到了金木水火土这五颗太阳系行星，到了哥白尼时代人们发现了地球也是太阳系行星， 然后随着科学的进步又发现了天王星、海王星和冥王星，然而冥王星最近又被开除出太阳系行星了。 在这个过程中，“行星”最早的内涵“行走的星”，被替代为更客观、更严格的内涵，比如最小质量等等。 在这里，所有的行星本身都既可以是经验世界中的对象，也可以是概念世界中的对象，因为专有名词本身只指向经验世界中唯一一个对象：我们把经验世界中唯一的“水星”抽象为概念世界中的“水星”这个过程中，并不需要抽掉任何的“象”。 因此，对太阳系行星的定义与对人的定义，有着本质的区别：在对“人”进行抽象时，意识并不清楚意识的下属部门究竟抽掉了哪些“象”，而在对“水星”进行抽象时，则没有这个问题。
比如人们对“生物”最早的认知只包括动物和植物，然后随着科学的发展，加入了细菌、病毒（有争议）、真菌和古菌等。 虽然一些定义比其他定义合理，但如果一个人非要坚持说在他的定义里，除了植物和动物都不是生物，那也无可厚非。 然而大部分的人都会随着我们对生物理解的深入，改变我们头脑中“生物”这个概念的内涵。 这在小孩里那最为明显：一个人童年对很多概念的理解都是形象的、不深刻的、甚至是有问题的。 如果他固执地不改变他对所有概念的理解，他的思维是永远都是幼稚的：而这几乎没有发生过。 相反，不顾任何新信息和新知识而固执地拒绝改变原有定义，从某种程度上来说是思维老化的一般表现。
而我们之所以说一个定义比另一个定义合理，也是因为这个定义具有一些我们可以明确说出的性质，而这些性质是我们所偏好的，比如它们更好地符合了否定倾向或逻辑倾向的评判功能。 总而言之，这些都是在意识的范围内，或者说是理性的范围内，进行的。
20.6.2. 方法2：以规定外延的方法来进行抽象¶
在使用外延的方法进行抽象化时，我们把所有属于这个概念的对象进行列举，比如“家具=∪{桌子、椅子、立柜、沙发……}”， “生物=∪{动物，植物，细菌，真菌，原生生物，古菌，病毒，亚病毒因子，……}”，“自然数={1，2，3，4，……}”，“电荷={正电荷、负电荷}”。 使用这种方式，我们可以明确地定义一个高等级的抽象概念：一个元素属不属于这个集合，我们只要去查这个列表就可以了。 需要注意的是，为了与内涵法相一致，外延法在对集合对象进行抽象时，我们要取其并集(∪)，即从形式上来说是把所有的集合中的元素都取出来后再组合在一起进行对象化（虽然我们在抽象化的过程中并不显式地那样做），而不是简单地把集合直接组合起来并进行对象化。否则的话，我们要确定两个概念的关系，经常需要很多额外的抽象层次。 比如如果我们采取直接组合的方法，定义“恒温动物={鸟纲、哺乳纲}”，则“猫”不属于“恒温动物”，因为“恒温动物”这个集合只包含两个元素，但是：猫∈猫属∈猫科∈食肉目∈哺乳纲∈恒温动物。 虽然这种定义方法也是合理的，而且显式地展示出了抽象的层次，但是它比较繁琐，与内涵法的定义不一致，显示的抽象路径不一定是唯一可能的抽象路径（比如我们可以用“有多少条腿”为标准来对动物进行第一级的抽象，然后再把它们一起抽象为动物），而且一旦我们发现这个抽象路径不合理，它就不再成立。
需要注意的是，我们在使用外延的方法定义一个抽象概念时，重要的不仅仅是列举，也是对列举的整体对象化：这在自然语言中表现为赋予这个整体对象化一个名字。 在意识中，实际上我们在把这个列举看成一个整体时，抽象化已经完成了：它不必有一个语言上的名字。 但语言上的探讨，仍然可以给我们一些启示。 比如我们在说“这两个人”时，我们一般没有作抽象化，或者说只作了很弱的抽象化， 因为我们在谈论“这两个人”时，一般来说脑子里想的是这两个具体的人，亦即更多的是直观而非概念——这是抽象化不彻底的表现，因此我们更倾向把它理解为“复数对象”。 然而，在我们谈论“中国14亿人”时，我们却无论如何也不可能在头脑里直观出14亿人，因此在这里抽象化做得更为彻底：“14亿人”是被作为一个整体对象来思考，而不是作为一个“复数对象”来思考， 虽然在语法上我们经常仍然用复数来表达（如果这门语言的名词有复数形式的话）。
外延法相比内涵法有一定的优点，比如使用内涵定义集合可能会有潜在的逻辑问题，而他用外延定义的集合却是明白无误的。 因此，在以严格性著称的ZFC公理化集合论中，我们判定两个集合相等的方法，就是判断两个集合中的元素是否都一一对应地相等：这被称为“外延公理”。 虽然我们也可以定义与它对应的“内涵公理”，但因为其潜在的逻辑问题，所以并不被ZFC公理化集合论所采用。
然而外延法并非完全没有问题。 在人的意识中，对一个抽象事物的印象，更具有统治力的经常是内涵，甚至是一种难以言述的感觉，而不是一个任意的定义。 比如我们定义为“动物=∪{人、兽、鸟、虫}”，然后我们见到一条鱼，就按照定义说“鱼不是动物”，我们会觉得这是荒谬的。 这是因为意识并不真的认为这个定义有至高无上的权威。 人们依然倾向去按“鱼会不会自主地动”之类的标准来判断“鱼是不是动物”。 当然，不同人在判断时所使用的标准也经常不同。 一个原始人可能会更倾向于从“鱼会不会自主地动”的角度来判断，甚至会直接让负责对象化的意识下属部门来判断。 一个生物学家则会从“鱼有没有动物所应该具有的基本特征”来判断。
20.7. 抽象建构¶
抽象建构用抽象对象为材料，建构更复杂的抽象对象：这是组合倾向的结果。 与抽象化不同，抽象建构生成的抽象对象，与那些作为原材料的抽象对象，具有同样的抽象等级。 比如一个三角形是由三个点和三条边按一定规则组合而成的，笛卡尔说的千边形也是用类似的方法组合而成的。 一个三角形不比组成它的点和边更抽象，因为它们之间是部分与整体的关系而不是集合上的属于关系。 之所以如此，是因为我们在构建三角形时，使用的是具体的点和边，而不是点和边的概念本身。 抽象的过程则相反：我们在用外延的方法从不同种类的动物抽象出”动物“这个更抽象的概念时， 我们用的是”猫“和”狗“等概念，而不是一些具体的猫和狗（虽然我们用并集法定义“动物”时隐式地涉及到了所有具体的对象）。 虽然正如笛卡尔指出的那样，我们可以很轻易地精确想象一个三角形，却很难精确想象一个千边形，但那是直观的限制，与抽象等级无关。
在抽象建构中，我们在组合过程中使用的具体方法经常是来自于泛化，甚至是跨世界的泛化。
比如我们看到了树，领悟到了一种“拓扑结构”（虽然我们一般不会使得这个词），以后就可以把这种结构泛化，来描述抽象概念之间的关系， 比如家族树，生命系统发生树，图书分类树，等等。 在这里，我们把经验世界中的树结构泛化到了概念世界中。
比如我们看到了一些首尾相连的对象，比如环节动物，我们就可能把这种首尾相连的结构泛化到抽象世界中去，比如把线段进行首尾相连，把火车车厢进行首尾相连，等等。
至于具体的抽象建构，我们将在后文具体讨论，比如数的建构。
20.8. 抽象概念的具象化¶
一个抽象概念在产生之后，我们不仅可以用它进行进一步的抽象化或者用它和其他概念进行比较，还可以用它指代经验世界中的对象或抽象级别更低的概念。 比如，“动物”这个概念可以指代“猫”这个概念，也可以指代一只感官世界中的猫。 在这个过程中，在抽象化过程中“被抽掉的象”又被根据具体的情境添加了回来，因此我们把它称为具象化。 具象化的一种特殊情况是实体化，即从抽象概念直接具象化为经验世界中的对象。
具象化，是抽象化的逆过程。 它最基本的形式（不考虑抽象建构的情况）在抽象化发生的时候，已经被隐含地定义了。 在抽象化的过程中，我们“抽”掉了具体的“象”，即原材料对象之间彼此不同的杂多特征，来得到了抽象概念。 因此，一个抽象概念就天然地可以指代那些原材料或与那些原材料相似的对象（泛化倾向的体现）。 一旦我们使用了这种指代，具象化就产生了：所指对象特有的杂多特征又被添加回来了。 比如我们说“这只猫”，指的不仅仅是它作为猫所必须具有的那些特征，而且也包括它本身特有的杂多特征，比如花色和毛长等。
以上讨论的是纯粹由抽象化产生的抽象概念。如果我们在概念的产生中，使用了抽象建构，则产生的概念在自然条件下可能难以被实体化。 为了实体化它们，我们可能需要人工生产。 比如我们用“马”和“翅膀”这两个概念构造出了“天马”（这里的讨论是对概念建构者而言的，而不是对已经看到实体化天马的儿童而言的）。 “天马”要想实体化，就必须要人工制造（假设我们完全确认天马这种动物确实不存在）：比如制造成绘画、雕塑和玩具等。 但对于克莱因瓶之类不指向我们生活中那个时空的数学构造，则是彻底无法被实体化的。
在自然语言中存在表具象化的语法机制，但这些语法机制往往难于精确指向具像化的任意层次，除非我们结合上下文或使用相对繁琐的描述。
在各种语言中普遍存在的指示代词，以及印欧语和闪含语中的定冠词，把它所限定的概念直接具象化到经验世界中的具体对象，或者抽象世界中抽象层次最低的对象。 比如在英语中，“the animal”或“this animal”直接指向一个具体的动物，而不会指向“猫科”、“犬科”这些抽象层次较低的概念。 在汉语中的指示代词也是这样，但是在本情况中，指示代词必须不带量词或带有表固定指代的量词。 具体的例子如“这孩子”、“那只猫”、“这双鞋”、“本文”、“那群鸟”、“所有人”、“其他同学”、等等。 除了固定指代的量词，还有表选择的量词，比如“任取”和“存在”，表不定的量词，比如“某”，等等：它们显然不表具象化。
在自然语言中，我们要具象化到中间的抽象层次，往往需要借助量词或表集合的名词，并借助上下文。 在汉语中我们经常用抽象量词，比如“这种动物”、“那类方法”。 在英语中，我们可以采用一些表示种类的词，比如“this type of animals”，“that category of methods”：但从语法上说，这些短语中的中心词已经变成了表示种类的词。
20.9. 概念的世界与柏拉图的理念¶
柏拉图把世界划分为理念世界和事物世界。 理念世界是原本和模型：它是关于形式的，它也是绝对完美的。 我们可以认识理念世界而不能用感官感觉到理念世界。 事物世界只是理念世界的影子或者不完美的摹本。 具有相同名称的事物分有了同一个理念，具体事物会变动而理念不会变动。 据此，柏拉图说理念世界是真实的，而事物世界是虚幻的。
在本书的体系中，柏拉图的理念世界就是概念组成的世界。 理念的不变性，可以对应到：在抽象化中的过程中，那些可以变化的无关细节被排除了。 理念的完美，可以对应到：概念没有任何超越概念本身的内涵，也不可能有任何不完美的细节，因为所有与概念有关的细节都被明确定义，而其他任何无关细节都根本不存在（在抽象的过程中被去掉了）。
我们说过，人脑可以毫不费力的构造出不同的世界：由直接感官组成的世界、由经过物理反思后的对象组成的世界、由语言组成的世界、梦的世界、等等。 这些世界中，一个很重要的世界就是概念组成的世界。 概念具有的柏拉图所说的不变性，就正符合了完美逻辑的要求，因此概念的世界就成了完美逻辑大显身手的地方。
推崇完美逻辑的概念世界（概念世界的一种），作为一个庞大的世界系统，历来为很多西方学者所重视。 这个庞大的世界系统囊括了数学、逻辑学、所有的理论科学以及所有具有逻辑精神的哲学。 它在哲学上的影响也从古希腊一直贯穿到今天。 但如果哲学研究仅仅被限制在推崇完美逻辑的概念世界里的话，它即使拥有丰富的研究成果，也终究是狭隘的，而这则违背了哲学的基本精神。
概念的世界，也经常被很多学者认为是高于其他世界，比如感官世界和经验世界。 我们则呼吁平等地看待每一个世界。 试图去刻意压制人的某一种机能，反而可能会让这一种机能通过某种负面的方式表现出来。 这些不同的世界都是存在的： 它们各自有自己的功能；它们之间没有隶属关系；也没有任何一个世界可以凌驾于其他世界之上。 比如，不管哲学和物理学对世界做出了怎样的解释，感官的世界并不改变：比如一半放进水中的筷子在感官世界中看起来仍然是弯曲的， 比如虽然我们知道以太阳为中心对于物理理论来讲更加方便，但我们仍然以我们自己为中心，而不是以太阳为中心，来感受这个世界。 感官的世界从来都是真实的：我们通过理性思考可以加深对它的理解而不可以改变它。 当然，这里我们把感官世界限定为一个具有正常感知功能的人在清醒情况下的感官世界： 它不包括产生幻觉的人的感官世界，也不包括患有某些知觉障碍型精神病的患者在发病时的感官世界，等等，虽然在这些情况中，最起码这些感觉对应的生物电信号是真实的。
在本书中，概念的世界在理论上可以有无限多个：比如一个平面和其上的任何一个三角形都可以组成一个世界，而三角形则可以有无限多种。 概念的世界不仅仅可以指把所有概念堆叠在一起组成的那个世界（具有无穷的建构），也可以指由几个概念以一定的规则建构起来的世界。 比如抽象代数中的群、环和域就是这种世界的例子。 我们甚至可以把抽象的概念几何化，把概念和直观联系起来。 这种几何化，比如点、线和面，也不包含任何与概念本身无关的细节。
只有在概念的世界里，才存在真正的精确。 在这里，对象化倾向、相等倾向、否定倾向和逻辑倾向的评判功能可以被同时满足：这就引发了一种强烈的美感。 只有在概念的世界里，才有 \(7+5=12\)这个确定的等式：它的确定性来自于定义和思维建构实验。 要知道，即使我们在说7只猫加上5只猫等于12只猫时，我们也是先对猫进行了简单的抽象化，即抽掉那些彼此不同的“象”之后，得到了猫的概念，才能在概念的世界中进行加法运算，或者如我们后文所论，对“数”这个动作进行抽象化并计数。 在经验世界里，我们则必须进行测量：简单地（经常是无意识地）认为经验世界也拥有直观中的线性结构是想当然的：那是泛化倾向的结果，尚有待否定倾向去进行泛化验证。 比如高斯会去测量在地球表面，由三个山峰组成的三角形的内角和是否为180度，以验证非欧几何的正确性。 人们经常混淆概念的世界和物理世界，因为我们经常认为只有一个世界，把本分属于不同世界的认知压缩到一个世界里，产生了各种的妥协、糅杂和各种似是而非思辩。 事实上，物理世界也是概念的世界。一个具体物理问题对应的概念世界是，一个由一组抽象对象以及这些对象的各种物理量之间的数学关系组成世界。 在柏拉图那个年代，作为典范的概念世界就是几何世界，大概这就是为什么注重理念世界的柏拉图会在阿卡德米学园门口写着“不懂几何者禁止入内”。