23. 实数在自然界有用吗？¶

这是一个很有趣的问题：它体现了很多长久以来人们对“数学究竟是什么”的困惑。我们从小到大，在学校里学习到的科学知识，基本都是解决某一类问题的具体方法：哪个方法里用到了数学，我们发现它确实好用，就继续这么用，并经常把数学当成一个工具。直到一天，我们对我们以前的学习进行反思，可能就会问：实数是什么？它凭什么可以被用于物理理论？我们后来学到，普朗克时间是我们可以观测时间间隔的一个下界，普朗克长度是我们可以观测距离的一个下界。那我们可能会想，连续的实数在自然界中真的有对应物吗？如果没有，实数本身的合法性在于哪里，它可以被用于物理研究的合法性又在哪里？

23.1. 正式讨论前的一些思考¶

事实上，“是否能对应到自然界”这种问题不仅仅适用于实数，而是适用于任何数，甚至任何数学对象：

想必很多人都迷惑过：复数到底是什么，到底有什么意义？因为初学复数的人，并找到不到复数的很多现实应用，所以复数给我们造成的现实性迷惑并不如实数大。
欧氏几何中的点、线、面也无法完美地对应到自然世界里，那欧氏几何的合法性在哪里？它凭什么可能被用于物理研究，比如用三角形来研究力的合成与分解？
对于那些根本不可能在自然里存在的数学对象，我们则是完全“放弃治疗”了。比如在自然里，克莱因瓶存在在哪里，无穷维空间存在在哪里，庞加莱圆盘存在在哪里？我们不可能在自然里找到上述的数学对象，因为它们几乎完全脱离了自然，也难以对应到自然中去。现代数学家很多都选择用现代柏拉图主义的观点来看待这些数学对象的存在性。、
然后我们再回到最最基本的自然数。正如莱布尼茨说的“世界上没有两片完全相同的树叶”，世界上事实上没有任何两个一模一样的东西：如果我们忽略它们占据时空一定不同的事实，我们可以把它弱化为“宏观自然世界里有两个一模一样的东西的概率为0”（同种微观粒子之间在相同状态下，倒基本是一样的，但考虑到不确定关系，我们事实上无法判定它们处于的状态是一模一样的）。因此，虽然我们到知道，“一个苹果加一个苹果等于两个苹果”，但一个苹果的什么加一个苹果的什么等于两个苹果的什么？一个苹果的体积加另一个苹果的体积，等于一个苹果（哪一个）的两倍吗？如果一个苹果和另一个苹果基本不可能相同，为什么所有的苹果都可以用来在自然数的意义上相加呢？和实数相比，我们就真的理解自然数是如何被运用到自然界的吗？
我们再回过头来讨论实数。和自然数一样，实数乍看起来非常符合我们的直觉，以至于一个初中生不费多少力气都可以凭借数轴的直观来理解它。但随着我们知识的增加，我们发现实数远远没有我们以前以为的那么简单。实数里为什么包含无理数甚至超越数？为什么在一个区间 \([0,1]\) 上，有理数的测度为0？甚至构造这个非常符合直觉的实数竟然需要闭区间套、戴德金分割、柯西列、有限覆盖这些用直觉理解起来困难得多的东西。虽然随便用哪个都可以构造实数，可是哪个和实数本身相比，在直观上都要难理解得多。我们发现，原来那个以前我们在朴素直觉上觉得那么简单的实数，我们以前根本不怎么认识它。然后，我们会想，自然界里有无理数吗，或者更精确地说，考虑到必然存在的测量误差，我们引不引入无理数有什么区别？但在数学上，如果不引入无理数，微积分又难以建立，比如存在“本该”收敛却不收敛的极限。我们还会问，自然界里真有闭区间套、戴德金分割、柯西列、有限覆盖这些东西吗？如果这些都没有，我们大概就会问，实数真的可以对应到自然界吗？

看来，我们只关注在“实数”上，难以得到这个问题的真正答案。我们真正要回答的，是“数学究竟是什么”，以及“数学如何可以被用于科学中”这两个问题。解决了这两个问题，“实数究竟如何可以被对应到自然界”这种问题就是简单的推论了。以下我们就分别探讨以上提出的两个问题。

23.2. 数学究竟是什么¶

数学是每个没有智力残疾的人都熟知的东西，虽然对数学的研究深度，在不同人那里有巨大的差别。然而，数学究竟是什么，却是一个非常复杂的问题。

很多人认为数学来自于经验。这当然是有道理的，如果没有经验，数学就不能产生。然而，数学的产生，依托的却不仅仅是经验。我们只需考虑下列事实就可以理解这一点：数学计算为什么是没有误差的？我们对经验中事物的测量，必然存在误差，因此，如果数学直接来源于经验，那数学也不可能没有误差。

那除了经验，数学还来源于什么？我给出的答案是：抽象化得到的材料，以及使用这些抽象材料建构的方法。这些建构方法具体包括：组合、切分、泛化等。

我们以“1+1=2”为例来讨论这个问题。有人可能会说，1+1=2 有什么可讨论的，那不是显然的吗？我要说，要研究数学本身到底是什么，“1+1=2”可能是最重要的问题。如果我们知道了1+1为什么精确等于2，那其他数事实上最终都可以用“1”为基本材料构造出来，数的运算的精确性就可以被解决了。以此为蓝本，我们就可以继续研究代数、几何、分析、拓扑等数学分支的精确性问题。

23.2.1. 从“1+1=2”谈起¶

一个原始人或者一个婴儿，首先要有“1”这个概念，才能开始理解和学习数学。所以要研究数学是什么，我们一定要研究明白“1”是什么。我们首先来看看“1”有什么性质。“1”并不如我们以为的那么简单：

“1”是不满足同一律的。比如在“1+1=2”里，如果“1”满足同一律，而且我们用“1”来指向苹果，那么“1+1=2”的意思就是：一个苹果加上它自身，等于两倍的它自身。这显然是极端荒谬的。因此在“1+1”里，如果第一个的“1”指代了苹果A，那么第二个“1”就决不能指代苹果A，而必须是另一个苹果。
“1+1=2”的严格意思，其实蕴含了它们两个是一模一样的苹果（不能是同一个），或者一模一样的、与这两个苹果有关的属性。但在自然里，我们去哪里找两个一模一样的苹果呢，或者和它们有关的一模一样的属性呢？如果在“苹果”这个例子里，还可以通融，那如果用“1”代表“1厘米的线段”，那么在“1+1=2”里，这两段线段（长度）必须完全相等，否定这个等式就是错的了。

因此，在数学里，“1”事实上代表了除了所占时空以外，其他属性都相同的材料。可是在宏观经验世界里，我们找到相同材料的概率为0，那我们使用的到底是什么材料呢？答案是：抽象材料。

抽象化是我们在一些彼此类似的对象之间，抽离掉彼此不同的细节，得到共性——即抽象概念，的过程。一个婴儿，在看到过很多苹果后，认为这些苹果彼此相似，可以而且也应该被用同一个词来称呼。而这时，他听到别人用“苹果”这个词来称呼这些东西时，他就学会了苹果这个词。试想，如果一个婴儿非常的“逻辑严密”，认为这些苹果就是彼此不同的，并因此拒绝用同一个词来指代它们，那这个婴儿在逻辑上无疑是更为正确的；然而这个婴儿却永远也不会进行抽象化，永远也形不成概念，永远也无法进行理性思考——一句话，他根本无法产生智力（通常意义下的）。

抽象化的结果就是概念。我们从多个具体的苹果抽象出了“苹果的概念”，“苹果的概念”就可以指向不同品种、不同外观、不同大小、不同味道的苹果。因此，“苹果的概念”里没有那些具体的苹果之间相互不同的细节。这时，我们闭上眼睛去想，一个苹果加上一个苹果等于两个苹果，我们就想出了两个除了彼此占据时空不同，其他方面都相同的苹果。这两个“抽象的苹果”不存在彼此不同的细节，因为“苹果的概念”里根本没有那些细节：它们都已经在抽象化的过程中被抽离掉了。我们当然可以通过具象化的方法重新添加细节。但至此，我们已经可以说，我们找到了彼此相同的对象：有了它们，我们就可以开始数学建构了。

在“1+1=2”中，我们用组合的方法把两个“1”进行了一个组合，并把结果命名为2。更具地说，这个过程可以被解读为：把第一个“1”具象化为一个“1”这个概念的抽象实例（存在于我们脑海中的实例），把另一个“1”具象化为另一个抽象实例，然后我们把这两个抽象实例组合起来，最后把得到的组合进行抽象化，得到“2”这个概念。以上过程中的抽象化和具象化，可以被称为“数的具象化”和“数的抽象化”。组合的具体方法则取决于具体情况：两个苹果随便怎么放置都可以组合，而两条线段必须共有一个端点并且位于同一条直线上，才可以组合（就“1+1=2”的情况而言）。因为我们用抽象材料来进行数学建构，所以我们对我们使用的材料具有什么样的性质，完全地清楚（不清楚的细节都被抽象化掉了）。因此，我们才可能用它们来建构无误差的数学。

23.2.2. 数的建构¶

解释完了建构“1+1=2”的具体过程，我们来看看我们在这个建构过程中到底用到了什么样的思维：

相等倾向：我们会认为在经验世界中一些彼此相似，但又彼此不同的对象，在本质上是一样的，或者说有某些共同的特征。我们经常会忽略细节把它们等同起来。以上被称为相等倾向的认知功能。相等倾向除了认知功能之外，还有评判功能：人们在认识一个事物时，如果能在其中找到彼此相等的元素，人们会倾向于更喜欢它。比如，我们会喜欢对称的图形，会喜欢整齐排列的相等对象。当然，人在相等倾向之外还有其他倾向，比如逻辑倾向：如果一个图形经过复杂的变换才能与另一个图形相等，那这种美就更有逻辑深度，在能理解到这一层的人看起来可能会更美。
组合倾向：我们会倾向于去尝试把不同的对象组合起来。比如小孩喜欢用积木来组合得到各种各样的形状，古人喜欢用组合的方法来想象各种各样的怪物或神兽：比如牛头人身的怪物、比如取多个动物不同部分组合出来的龙、比如半人马，甚至在数量上进一步组合，比如地狱三头犬、九头虫甚至千手观音。我们喜欢能相互组合的标准件：这使得人造的方方整整的东西和自然界原本就存在的东西相比，仅在外观上就有着巨大的差别。

我们之所以要讨论这些思维，是因为这些思维会引导我们进一步去进行数学构造。我们现在再讨论两个认识倾向：

切分倾向：是组合倾向的逆倾向。像龙和半人马这些概念，事实上是人先用切分倾向切分出动物（人）的部分，再使用组合倾向把得到的一些部分组合起来。
泛化倾向：人们倾向于把适用于一个特殊事物的性质，推广到更一般的事物中去。比如人们之间用语言交流，有人就会想，动物之间是不是也用它们的语言交流。比如一种方法对一个问题有效，我们会猜想，这个方法是不是对一个与之类似的问题也有效。当然，要最终真的有效，我们经常会需要对那个方法做调整，这就是调整倾向。

假设我们已经以“1”为材料构建完了自然数，我们接下来探讨我们怎么在自然数的基础上构建其他的数：

我们可以使用切分倾向对任何一个自然数进行切分。到底应该怎么切分呢？我们在这里又用到了相等倾向的评判功能：我们倾向把它切分成彼此相等的部分（不光在切分数时是这样，在切分很多东西时我们都有类似的倾向，比如切西瓜、切蛋糕时，等等）。在自然数范围内，只有在可以整除的情况下，我们才可以得到答案；在其他情况下，我们可以使用带余数的除法，但这并不十分完美（完美指的是符合我们的相等倾向）。
在自然数的范围内，我们不能把任意一个自然数 \(m\) 平分为 \(n\) 份（\(n\) 代表另一个自然数）：这在逻辑上没有任何问题。事实上，在逻辑上它就应该是这个样子的。但是，至少在一些人那里，泛化倾向是如此的强烈，他们不惜扩展数集来使任何一个自然数 \(m\) 都能被平分为 \(n\) 份。最终，他们得到了分数。
在自然数的范围内，我们很容易用逆运算的方法来定义减法。然而这必然要求减数小于被减数（假设我们认为0不是自然数：事实上在人类的认识历史中，我们对0的认识也远远晚于其他自然数，这里的认识指理论上可以存在的认识）。这又引发了一些人的泛化倾向：继续扩充数集以使任何两个自然数都可以做减法。为此，他们引入了零和负整数。
对正分数，我们也可以作同样的泛化，结果是我们得到了有理数集。
在希帕索斯发现了\(\sqrt{2}\)不是有理数之后，大家知道了原来数轴上还有不是有理数的数。更一般地说，在正有理数范围内，并不是所有的数都有 \(n\) 次方根（任取 \(n\in\mathbb{N}^+\) ）；不是所有代数方程的（实数）解都是有理数。泛化倾向再次引导一些人去扩充数域，而最终结果就是：人们得到代数数。
因为负数还不能被开偶次方，所以泛化倾向再次引导一些人把数域扩充到复数。
在有理数和代数数中，柯西列不一定收敛，有上界的数集不一定有上确界，闭区间套不一定可以确定一个数……，而这些都是数学家希望一个数集可以具备的性质。泛化倾向再一次指引一些人去继续扩充数集来得到实数。

以上是人们构造数集的逻辑过程。我们要强调，所有数都是被构造出来的。而在构造数的过程中，我们所运用的，是我们的认知倾向——在以上的讨论中，我们介绍了相等倾向、组合倾向、切分倾向、泛化倾向和调整倾向（其他没介绍的认知倾向有对象化倾向、事件化倾向、比较倾向、否定倾向和逻辑倾向）。这正如，一台计算机虽然可以做很多事情，但一切它可以做的事情，事实上都是由一个个指令组成的：计算机可以做的所有事情构成的全集，是由计算机的指令集决定。人脑也是一样，我们可以想象的所有事情构成的全集，是被我们大脑本身所有可能的思维方式所规定的。以上提到的认知倾向是我尝试对这些思维方式进行研究得到的结果：它们不仅可以解释数的发生和构造，也可以解释其他认知现象。

因此，虽然如果人没有经验，就不会有数，但是一旦人通过相等倾向产生了抽象概念，特别是“1”的概念，人就完全可以只用它来进行数学建构，而不必非要借助于经验。因此，数和数学概念并不存在于自然界里，而存在于抽象世界，或者说是概念世界里。

23.3. 数学概念的实在性¶

读到这里，有人可能会说：你说数学存在于概念世界里，那难道概念世界中的存在，特别是用抽象概念建构出的概念，不是人们想象的结果吗？它们有实在性吗？

当然有。它们的实在性丝毫不亚于自然世界中事物的实在性。

在经验世界里，我们要确认一个东西确实存在，就要使用多种方法、从多个角度对它进行反复观察，以防是我们眼睛花了误看到了“飞蚊”一类的东西。我们会用眼睛去看，用手去摸，用鼻子去闻，用仪器去观测……。每一次观测的成功，都让我们更相信那个东西在经验世界中存在。这里“存在”的意思实际上是：我们相信下次我们去观察那个东西，它还在那里。
在作为概念世界的数学世界里，我们要确定一个命题为真，我们也是试图去证明它，甚至用不同的方法来证明它。我们在证明过很多次之后，甚至很多人证明过很多次之后，我们相信，下次我们再去证明它的时候，它依然成立。

因此，我们确定一个东西在概念世界中存在，和我们确定一个东西在经验世界中存在，在原理上是没有任何差别的。而在这背后的，依然是人的认知倾向（在这里不展开讨论）。

23.4. 数与量，以及数学在其他学科中的应用原理¶

通过以上讨论，我们知道了数学是人的一种纯粹思维建构。在数学建构中，虽然我们使用的质料是从经验中加工而来，但那种质料一经产生，我们用它进行进一步的数学建构就成了一种纯粹的思维活动：虽然经验对这种建构经常会有启发，但这建构本身仍然是纯粹的思维活动——它完全使用抽象的材料，也完全受抽象的规则制约。

如果我们要把数学应用到自然科学上，比如说物理学上，我们就首先要获得数。在物理学中，这个过程就是通过测量来得到的。测量是一种把物体的某种性质对应到数的结构上的行为。比如我们用尺来测量距离：这个测量之所以可能的原因是，尺和被量物体的长度都是固定的，或者说是遵循某种规律的（在相对论中）。否则，如果尺和被量物理的长度都随时间随机变化，那测量就成了没有意义的。因此，“测量是可能的”是一个经验规律：我们并不先验的知道这件事，因为我们完全可以想象一个所有物体长度都随时间随机变化的世界。

当然，在测量之前，我们其实还要首先抽象出这些物理量的概念，比如质量、动量、能量、温度等等，而很多物理量的定义都是经过几代科学家的研究才得到的结果。这些物理量的产生，从思维的本质来说，主要是对象化倾向、泛化倾向、逻辑倾向、否定倾向和调整倾向的结果（其他认知倾向也有贡献）。

有了量之后，我们就可以通过数学来研究几个对象的各种量之间的关系：这种关系一般由方程来表示，当然也有用不等式表示的情况。我们通过大量的验证，才确定这套方程，或者说是数学模型，可以很好的模拟自然中发生的现象：自然中的物体不知道数是什么，也不需要依照哪个“神”通过计算得到的结果来进行演化，它们大概只是自动地符合规律，所以说我们用借助数学工具进行的理论推导是一种模拟，而不是自然界中事物本身的样子。

23.5. 进一步的讨论和问题的解答¶

我们用数学模型来解决一个问题，并不是说一定要在我们使用的数学结构和要解决的问题之间建立一一对应的关系。如果一个数集能完全涵盖要解决的问题，那这个数集大点儿也没有关系。

比如在财经问题中，我们用有限小数来表示金钱的数量，并用有限小数的四则运算来算账。虽然如果以元为单位，不可能出现小数点后第三位以及更后面的位数，但我们没必要为此去专门定义一个由“小数点后最多只能有两位数的有理数”组成的数集。
但要注意，大的数集不一定能涵盖它包含的较小数集中的一切现象。这是因为在泛化的过程中，我们经常会对以前的定义作一些调整。比如在实数的除法中就不再有整数除法中余数的概念；整数集里素数之类的数论概念，在实数和复数中也没有直接的对应，虽然我们在解析数论中可以通过研究复变函数来研究数论问题。

在我们用数学方法解决物理问题时，情形也是类似的。物理中涉及到的时间和空间，严格来说分为两类：

测量中的时间和空间。它们不能无限小，受普朗克时间和普朗克长度制约。测量具体发生在两个场合：1）确定物理系统的初始条件和边界条件；2）验证理论推导结果是否与实验结果相符。
数学模型（一般是方程）中的时间和空间。这里的时间和空间是什么，只需看它们的定义域就可以了。特别是，在这个模型里，如果我们可以对时间求导，那么我们就已经假定了时间参数是用实数表示的，如果我们可以对空间参数求导，那我们也就已经假定了在这个模型里长度是用实数表示的。
我们在实践中，一般不需要把这两类时空分得那么清楚，因为我们统一用实数的话，就已经可以满足了两者的共同要求了。

最后，我来回答一下“实数在自然界有用吗”这个问题：

我无法回答“实数在自然界里有没有用”这个问题：事实上，这是一个奇怪的问题，因为实数不在自然界里，而是在人脑中的概念。
我们只知道我们观测到的自然是什么样子的，而无法知道脱离了观测，自然本身是什么样子的。
我们只知道，在人们用来解释自然现象的模型里，实数是有用的：用微分方程描述的各种物理规律就是最好的例证。没有实数就没有微积分！
运用“使用了实数的数学模型”可以很好地解释自然中的现象，不意味着实数在自然界中就真的有对应的存在。这就像在量子力学中，我们可以使用无穷维希尔伯特空间来很好地解决问题，但这决不意味着在自然中就真的存在无穷维希尔伯特空间。如果我问“无穷维希尔伯特空间在自然界有用吗”这个问题，是不是显得很荒谬？把“无穷维希尔伯特空间”换成“实数”，事实上荒谬程度一点也没有降低。
关于这个问题，我似乎没有什么再要说的了。

为了深入讨论这个问题，我在这个讨论中涉及了很多其他的问题，比如各种认知倾向公理，抽象化的发生过程，数的建构，测量，等等。但限于篇幅，本文无法详细讨论所有这些内容。读者如果对它们有兴趣，请参考《哲学的重建》。