第三章、抽象化和实体化

在上一章,我们探讨了对象化倾向公理。 但是,只有对象,我们还无法对其抽象形成概念。 按照认知发生顺序原则,我们首先探讨从经验中产生的概念,然后再讨论更为抽象的概念,比如在数学和逻辑中的概念。

抽象化的根本动力,是理性思维的基本方式。 理性思维,可以通过句子表达,而一切句子的基础是简单句。 简单句,只能容纳有限数目的主语和宾语,具体数目决定于动词的配价(在汉语里一般是零到四)。 理性思维为了在简单句的这个限制内,进行涉及对象更多的、更广泛的思考,就需要用集合的方法,把多个对象“打包”成一个集合(或类):这个集合只占一个主语或宾语的位置。 这样,我们就可以在研究一个句子时,实际涉及很多的具体对象。 形成集合的方法有两种:内涵法和外延法。 外延法也称列举法:在这种方法里,我们通过列举集合中所有的元素来定义集合。 内涵法也称描述法:在这种方法里,我们先给出一个或几个性质,再把具有这个性质的全体元素来定义这个集合。 在内涵法里,定义集合所用的“性质”,其实就是抽象概念。 抽象化的过程,是一个通过外延法来得到内涵法的过程:

  1. 我们先通过比较,把我们认为类似的元素用外延法组成一个集合。

  2. 然后我们去反复考查那个“类似”的东西究竟是什么,努力让“类似”收敛到“相同”。在考查的过程里,我们可能会排除一些元素,或者加入一些新的元素。

  3. 最终我们找到了那个“相同”的东西,即一个“抽象概念”。使用这个“抽象概念”,我们可以把用内涵法来定义集合:这个集合可以容纳在我们研究过程中使用的“外延集合”更多的元素,甚至包括我们从未见过或想过的元素。

需要注意的是,上面的过程是一个“显式”的“语言过程”。 而在实际的发生的抽象化里则不一定如此。 这个过程的很多细节经常是被意识的某个下属部门所完成的。 我们在日常生活中,我们的意识并不会“显式”地罗列对象,不会“显示”地比较那些对象,也不会去判定哪些对象比较相似。 但这些必然在我们的大脑里发生了,否则,我们就不会形成任何的抽象概念。 在具体讨论抽象化之前,我们首先讨论在这个抽象化过程中,思维所使用的倾向:比较倾向、相等倾向和逻辑倾向。

当然,在日常生活中,特别是原始人的日常生活中,对这个过程中的“相同”的要求也经常不甚严格和清楚,那个“概念”也经常不甚准确甚至可能自相矛盾。 这里个过程中“类似”和“相同”都是人的主观感觉,而不一定是科学意义上的“相关”和“相等”。 事实上,即使在科学中,“相等”也经常是定义在“某种意义”下的,只是这种意义被明确的表达出来了。 比如在模运算里,如果我们取2为模,那么所有的奇数都相等,所有的偶数也都相等。

比较倾向公理和相等倾向公理

一个婴儿看到一堆苹果,它会对每个苹果进行对象化。 但他要产生“苹果”这个概念,他首先要对这些不同的对象进行比较。 一个婴儿不需要其他人教:他会自发地做这件事情。 这就是“比较倾向公理”。 可是严格地来说,感官世界中两个苹果各方面完全一样的概率为0,这意味着在现实中基本不会发生。 如果我们使用更加严格的思维,认为两个对象x和y相等,是比任取函数f都有f(x)=f(y)更强的命题, 那么任何x都只能与自己相等,因为如果取f为空间坐标函数,那x=y相等涵盖着x和y占据着相同的空间位置。 如果人们倾向认为它们有不同之处就是不一样的,也没有必要把它们归为一类,那概念根本不会产生。 事实上正好相反,人类倾向于忽视他认为是细枝末节的差异,把差不多一样对象归为一类。 这就是“相等倾向公理”。 所以,如果“比较倾向公理”和“相等倾向公理”不成立,概念根本无从产生。 也就是说,概念的存在,本身就是“比较倾向公理”和“相等倾向公理”的一种明证。

比较倾向,是抽象化的基础。 抽象化,简而言之,就是从相似的对象中得出共性,也就是把“概念”从具体的形象中抽离出来。 所以,要想进行抽象化,首先必须要有大量的、具体的对象。 然后,大脑需要在它们之间进行比较,来得知哪些是相似的,哪些是不相似的。

大脑会自发地在各种事物间进行比较:它会把真实的苹果和图画中的苹果进行比较,它会把实物和天上的星星进行比较。 它甚至会进行跨感觉的比较,比如它会把色彩和温度进行比较,产生了暖色系和冷色系的概念; 它会把听觉和视觉进行比较,产生了和弦的空间感、声音的立体感之类的概念。 在对红酒的品鉴里,由跨感觉比较产生的概念达到了极致:比如甜度低(残糖少)被称为“干”、浓郁而不酸涩被称为“丰腴”、单宁高(涩度高)的被称为“粗旷”,甚至有和某种综合味觉对应的形容词,比如“天鹅绒般的”。 这大概是因为自然语言里描述味道的词语比较贫乏,所以大家想描述复杂的味道,不得不借助与其它食物的味道的类比,甚至和其它感觉的类比。 所以,人们在尝试表达这种缺乏现成形容词的味觉时,应该是负责比较的意识下属部分,对现有词汇发起某种形式的搜索,把每一个搜索到的词汇对应的感觉,与当下的感觉进行比较,最终找到比较匹配的那一个。

我们并不清楚大脑是如何选择比较对象的。 但我们确定的是,这些比较并不都是在意识的层面进行的。 意识是串行的,而且速度也比较慢:仅凭意识我们是无法对浩如烟海的各种对象进行比较的。 意识甚至不知道如何高效地进行比较和搜索。 正因为如此,我们在计算机科学里才需要对此进行很多算法研究:比如排序算法,就是设计如何高效地运用比较来进行排序。 意识甚至不会去想,对那些看起来如此不相干的东西进行比较。

所以,大脑的比较功能,主要是由意识的下属部分负责的。 这个下属部分使用高效的算法进行比较,但意识并不清楚它究竟是如何运作的。 意识可以给它下达指令,比如在限定范围内比较。 事实上,对越相似的对象进行搜索和比较,这个下属部门的效率一般就越高。 当然,在严格要求精确性时,意识也会自己来担任比较的工作。 在我们睡觉的时候,意识对比较下属部分的限制最低,以致很多原创性的想法都在我们睡觉时产生:比如凯库勒的梦启发了他发现苯环的结构,门捷列夫的梦启发了他发现元素周期表。 我们睡觉时,虽然意识休息了,但意识的下属部分却没有都在休息。 我们经常感到,我们睡了一觉,有些本来搞不懂的东西,睡了一觉之后就变得清晰了起来。 除了比较之外,在睡觉时,大脑在做很多事情,比如整理记忆,甚至还会自导自演地给我们呈示出一个梦。

相等倾向,是指人们倾向把原本不同对的对象等同起来的倾向:比如实际的苹果和画中的苹果,都被我们称之为苹果。 在这个过程中,意识的下属部分忽略了它们之间不同的细节,而抓住了它们其实有限的相似之处。 人们从纷繁复杂的事物里“体会”到相似性的能力,在中国文化中经常被称为“悟性”。 这种被体会到的“相似性”就是“概念”。 刚刚被悟到的概念一般是“模糊概念”:某种相似性已经被某人体会到,但他可能甚至尚未找到一个明确的词汇把它表达出来。 和“精确概念”相比,这种“模糊概念”缺乏明确的内涵和外延,甚至难以用语言明确的传达。 它当然可能是有问题的:如果我们结果使用逻辑(见逻辑倾向公理)对它进行分析验证,发现它完全不足取,我们就可以抛弃它; 如果我们发现它有一定的优点,我们就可以使用逻辑对它进行不断的分析和改造,直到它成为了一个明确的、有效的概念。

悟性的重要性体现在我们几乎所有的思维活动中,包括科学、数学、哲学、艺术等。 悟性是我们在所有这些领域中“天赋”的重要组成部分。 一方面,我们不能能仅仅满足于“模糊概念”:它经常是玄而又玄、难以捉摸的。 如果我们过多地使用“模糊概念”,人们之间就难以达成明确的沟通:沟通变得更需要“默契”和“心有灵犀”,这不利于于思想和知识的深化、传承和发展。 另一方面,我们也必须承认,与感官与直观世界直接相关的概念难以完全的精确化,前者如“苹果”和“能量”,后者如“点”的“直线”。 可以完全精确化的概念,一般是关于概念的概念,是逻辑作用于概念上的结果:这是因为,“概念”本身没有细节而“逻辑”本身没有谬误。

即使在对于可以获得相对精确概念的领域,我们也不能过于轻率地摒弃“模糊概念”,因为这些“模糊概念”为我们的提供了大量用来思考的原始材料。 没有这些原始材料,逻辑就无法对它们提炼改进来形成精确概念。 比如,能量,在我们没有明确的知道如何去测量它以及它在物理过程中能量转化的规律之前,是一个非常模糊的概念。 在原始人的脑海里,能量,可能是一种“潜在的力量”。 但不同的人,尤其是不同文化和部落里的人,对“能量”这个概念的细节难以形成一致的观念。 很多古老神话中的神,或者部落中的图腾,都包含有对那个“神”或者“图腾”的能量的崇拜(另一个重要方面是对它“能力”的崇拜)。 一个在一种文化里被崇拜的、被神化的、具有神奇能量的动物,在另一种文化里却可能仅仅是一种非常普通的动物。 在现代物理学里,我们虽然仍然不能精确地“定义”什么叫能量,但我们精确地知道如何测量各种形式的能量,我们也知道它们之间的转换关系和守恒定律。 这远比用自然语言不甚准备地描述一下“什么叫能量”有意义的多。

需要注意的是,虽然我们在本章主要结合对象的抽象化的过程来讨论比较倾向公理和相等倾向公理,但是它们不仅仅适用于对象的比较,也不仅仅可以解释抽象化的过程。 它们也可以被应用于事件的比较,它们甚至可以用来解释伦理学和美学中的问题。 这些我们后文再谈。

逻辑倾向公理

从个别的对象化,到对象的比较,到忽略细节得到类和概念,这一系列过程都是化繁为简、不甚严格的。 但概念一旦产生,人们却用另一套严格的标准来对待概念。 思维会反复的考查,这个概念是否合理,由众多概念组成的概念体系是否合理。

需要注意的是,虽然逻辑倾向公理体现在数学和科学的研究中,但它的应用范围要广泛得多:比如神话、传说、巫术、宗教等等。

详细的说,我们的逻辑倾向公理包括三方面的内容

  1. 逻辑的自洽倾向。人们对于任何的体系,都倾向于逻辑的自洽。 这包涵了两方面:1。概念自身的无矛盾性; 2. 诸概念之间的无矛盾性以及协调性。 前者比如“全能”这个概念,本身就隐含着“全能的上帝能不能造出一块自己也举不起来的石头”这种悖论:这种概念就必定会引发争论。 对于后者,最好的例子就是公理化集合论:它用正则性公理排除了罗索悖论出现的可能性。 事实上不止在科学里,即使是在神话和传说里,相对于一个逻辑上荒谬的神话体系,人们也更倾向于接受一个逻辑上自洽的神话体系,虽然逻辑自洽只是决定人们信仰的一个要素。

  2. 逻辑的验证倾向。逻辑会不断的验证一段逻辑推理本身的合理性,包括逻辑前件(推理前提)的合理性,逻辑推理过程的合理性,以及逻辑推理结果的合理性。 一个小孩会不自觉地去验证大人和他说的道理到底对不对。 最终,为了验证逻辑推理结果的合理性,人们发明了实验; 为了验证逻辑过程本身的合理性,人们研究出了逻辑学和数学。 去保证逻辑前件的合理性,则更为困难。 不停回溯至少在实践上是不可行的。 如果逻辑推理的形式决定了,推理前件可以被推理结果所证伪,那逻辑前件虽然不能被完全证实,但至少可以被证实为极大概率为真。 波普尔把“可证伪证”和科学联系了起来:这样在科学体系里,逻辑的三个方面,前件、过程和结果就都可以在极大概率为真的意义下确定下来。

  3. 逻辑建构倾向。人们倾向于用更少的条件推出更丰富的内容的逻辑体系。 这在如今的数学和自然科学里表现的尤为明显。 数学不仅实现了各子学科内部的公理化,而且试图用公理化集合论来建立整个数学的终极基础。 但这种倾向有更为广泛的适用性。 人们基本不会倾向一个逻辑上无矛盾的但是笨拙的系统。 比如,一个世界系统说,神无时无刻不在控制着所有事物:它们这样运动是因为神是这样控制的,它们的运动有相似性也是因为神是这样控制的。 在这个系统中,所有的事件都成了唯一一件事情的推论:它是一个只有一级树状结构的逻辑系统。 对于这个笨拙的系统,我们无法否认它:它既不能被证实也不能被证伪,但是它可以解释任何事物。 虽然它是自洽的,但是我们不喜欢这样的系统:用叔本华的话来说,它并不符合我们的口味。 是的,这样的系统严重地缺乏逻辑上的美感,就像“飞天意面神怪物”讽刺的那样。 除了基础的简洁性和结构上的精致性,我们还希望它具有尽可能的广泛性:学者们的最终的目标是用一套理论解释所有事物,至少在某一范围内所有的事物。 我们倾向于牛顿给出的那种建构:他只用了三个运动定律,加上万有引力定律和其它一些来自实验的具体规律(比如胡克定律),就解释了当时已知的一切机械运动。 在那里,需要解释一个现象,可能需要大量的数学推导,以复杂的形式与那些基本定律相联系。 这样这个系统在基础上是简洁的,在结构上是精致的,结论是可验证的,基础的可靠性是可以用假设检验的方法在极大概率为真的意义下确定下来。 简而言之,这就是现代科学的方法。

在以往的研究中,逻辑的这些倾向经常是被无意识地隐性使用着的。 在本书中,我们把他们显式地表达出来:逻辑是人的一种自然倾向。 这些倾向不是人研究出逻辑学之后才有的,逻辑学也没有包括所有这些倾向。 逻辑学研究的是逻辑的结构,比如自然语言或者符号语言里的句子:它并不研究逻辑本身从何而来。 这就像数学基础,它只是为数学搭建一个稳固的基础,而不是研究数学本身从何而来。 所有这些问题,都仍旧是哲学问题。

逻辑终归只是一种倾向:我们并不一定非要用逻辑来解决问题。 逻辑更重要的功能,是验证和传播已有的概念和知识,而不是产生新概念和新想法。 其实,并非所有的人都有非常强烈的逻辑倾向:很多人更倾向于去感受和体悟世界而不是去分析世界。 只是,学者中具有强烈逻辑倾向的人居多,一是因为他们喜欢各种研究里的逻辑,所以容易被吸引来做研究; 二是因为运用他们的逻辑倾向,他们容易得到研究成果:那些成果不一定出色,但至少符合一定的标准。

归根结底,我们只能说,逻辑倾向是一种审美。 所有人都有审美,但每个人的审美口味都有所差别。 有的人喜欢把所有的事物都研究明白;有的人喜欢把大部分事物研究明白,剩下一小部分不清楚的东西,对他们来说有一种“朦胧美”;也有的人喜欢去感悟而不是去分析。

无论如何,逻辑是我们思维中很重要的一种审美倾向,但它决不是我们唯一的审美倾向:有时其它的审美倾向的影响甚至会超过逻辑倾向。 比如我们在导言中曾经说过的:

爱因斯坦不喜欢量子力学,也并不是因为他无法逻辑地理解哥本哈根学派的解释,而是因为他们的那种解释不符合爱因斯坦的审美。 数学史上这种事情则更多,比如克罗内克与康托尔的对立,希尔伯特与布劳威尔的对立,甚至更古老的毕达哥拉斯与希帕索斯的对立。 这些都不是在逻辑本身上的对立,更不是私人恩怨的对立,而直接是审美上的对立。

抽象化的过程

当我们运用比较倾向和相等倾向,把差不多一样的对象归为一类后,我们就可以给这个类起了一个名字,既概念。 既然概念可以用来指代所有那些对象,它就不包括那些对象之间互不相同的细节:这个抓住共性而忽略其它个性的过程就被称为抽象。

因为在抽象的过程中忽略了所有不相关的细节,经过抽象化的对象就可以被认为是真正相等的了。 虽然它们在空间上仍然不相等,但我们的大脑非常倾向于忽略它们占据的空间不相等这个事实: 我们从来没有见过一个上学前的小孩去纠结这种问题,虽然这问题其实在他们至少在开始数数时已经潜在地出现了。 这大概是因为加上这个严格条件,一物只可能与其自身相等,以致得不出任何真正有用的结论,理性的构建活动也会大大地被限制。 比如欧氏几何中线段的相等,只是说经过任何的平移和旋转后重合就可以,不会要求一开始就必须重合。 向量的相等,也只要求长度和方向相同,并不要求它们重合。 几何对象之间的全等也是如此。 在这些情况下,我们都经常无意识地放宽相等的条件,使得相等的东西有更广泛的外延,进而我们的逻辑就有了更多的建筑材料。 当然我们也有办法可以要求它们重合,比如使用强制要求所有对应点的坐标都相等,我们就很容易实现这一点。

我们说一个苹果加一个苹果先于两个苹果,从严格的意义上来说,隐含了这两个苹果是除了所占空间外都完全相同的两个苹果,也就是两个被抽象化了的苹果,概念上的苹果。 所以这结论不再适用于具体的苹果:比如说“一个具体苹果的体积加上另一个具体苹果的体积等于一个(哪个?)具体苹果体积的二倍”就是荒谬的。 虽然我们把“具体的苹果”换成“抽象的苹果”,比如用全等的苹果图画来代表“抽象的苹果”,但我们没有什么必要非要使用外观像苹果的图画,因为在进一步的抽象里,这将变得不可能。 有了“苹果”和“梨子”的这种第一层次的抽象,我们可以在“苹果”之间做加法,也可以在“梨子”之间做加法,但我们不能在“苹果”和“梨子”之间做加法。 但是如果我们进行了进一步的抽象,把它们与其它水果组成“水果”这个更抽象的概念,我们就可以在“水果”之间做加法,即使一个其实是苹果而另一个其实是梨子。 我们完全可以把一个苹果和一个梨子放在一起称之为两个水果,也完全可以把一只猫和一只狗放在一起称之为两只动物,甚至可以把一个苹果和一个猫放在一起称之为两个物体。 在这个抽象过程中,感知对象被一步一步地“封装”,在抽象级较低的概念可能还可以(但不必要)保留一点“抽象形状”之类的属性,抽象级较高的概念就完全变成了“黑盒”一样的存在, 虽然我们仍可以用一个任意的图形来代表它。

抽象概念的实体化

概念世界、柏拉图的理念

柏拉图把世界划分为理念世界和事物世界。 理念世界是原本和模型:它是关于形式的,它也是绝对完美的。 我们可以认识理念世界而不能用感官感觉到理念世界。 事物世界只是理念世界的影子或者不完美的摹本。 具有相同名称的事物分有了同名的理念,具体事物会变动而理念不会变动。 据此,柏拉图说理念世界是真实的,而事物世界是虚幻的。

在本书的体系中,柏拉图的理念世界就是概念组成的世界。 理念的不变性,可以对应到:在概念化中的过程中,无关细节被排除了。 理念的完美,可以对应到:概念没有任何超越概念本身的内涵,也不可能有任何不完美的细节,因为根本不存在细节。

我们说过,人脑可以毫不费力的构造出不同的世界:由直接感官组成的世界、由经过物理反思后的客体组成的世界、由语言组成的世界、梦的世界、等等。 这些世界中,一个很重要的世界就是概念组成的世界。 因为概念具有柏拉图的不变性,这就符合了逻辑的要求,成为了逻辑大展身手的场所。

概念的世界,作为一个庞大的世界系统,历来为很多西方学者所重视。 这个庞大的世界系统囊括了数学、逻辑学、所有的理论科学以及所有具有逻辑精神的哲学。 它在哲学上的影响也从古希腊一直贯穿到今天的分析哲学。 但如果哲学研究仅仅被限制在概念世界的里,它即使拥有丰富的研究成果,也终究是狭隘的,而这则违背了哲学的基本精神。

概念的世界,也经常被很多学者认为是高于其它世界,比如感官的世界和经验的世界。 我们则呼吁平等地看待每一个世界。 试图去刻意压制人的某一种机能,反而可能会让这一种机能通过某种负面的方式表现出来。 这些不同的世界都是存在的: 它们各自有自己的功能;它们没有互相的隶属关系;它们也没有任何一个世界可以凌驾于其它世界之上。 比如,不管哲学和物理学对世界做出了怎样的解释,感官的世界并不改变:一半放进水中的筷子在感官世界中仍然是弯曲的; 我们仍然以我们自己为中心,而不是以太阳为中心,来感受这个世界。 感官的世界从来都是真实的:我们通过理性思考可以加深对它的理解而不可以改变它。 当然,这里我们把感官的世界限定为一个具有正常感知功能的人在清醒情况下的感官世界: 它不包括产生幻觉的人的感官世界,也不包括患有某些知觉障碍型精神病的患者发病时的感官世界,等等。

严格地说,概念的世界不止一个,可以有非常多。 概念的世界不仅仅可以指把所有概念堆叠在一起组成的那个世界(具有无穷的建构),也可以指有几个概念以一定的规则建构起来的世界。 比如抽象代数中的群、环和域就是这种世界的例子。 我们甚至可以把抽象的概念几何化,把概念和直观联系起来。 在本书里我们也把它归到概念组成的世界:在现代数学看来,它们都对应有纯代数的表示。 这种几何化,比如点、线和面,也不包含任何的细节。

只有在概念的的世界里,才存在真正的相等:在这里,相等倾向和逻辑倾向同时得到了充分的表达,产生了一种强烈的美感。 只有在概念的世界里,才有 \(7+5=12\)这个确定的等式:它的确定性来自于定义和思维建构实验。 在真实的物理世界里,我们则必需进行测量:简单地(经常是无意识地)认为真实的物理世界也拥有线性结构是想当然的。 比如高斯会去测量在地球表面,三角形内角和是否为180度。 人们经常混淆概念的世界和物理世界,因为我们经常认为只有一个世界,把本分属于不同世界的认知压缩到一个世界里,产生了各种的妥协、糅杂和各种似是而非思辩。 当然,所谓“物理世界”,如果仅就理论物理而言,那也是一个概念的世界,但它与作为几何世界这个概念世界仍然是不同的。 在柏拉图那个年代,作为典范的概念世界就是几何世界,所以注重理念世界的柏拉图就在阿卡德米学园外立了“不懂几何者禁止入内”的告示牌。

现代数学柏拉图主义的启示

对于如何看待数学知识,很多现代数学家都选择接受“现代数学柏拉图主义”。 这种观点认为,数学真理是独立于人脑而客观存在的,人们可以不断地发现新的数学真理,而不能随意发明它们。 不管数学真理多么抽象,指向多么奇怪的空间,现代数学柏拉图主义者都认为其是真实的存在。 它们就像柏拉图的理念一样,绝对而永恒。 这种观点,从某种程度上给了数学家一个坚实的土壤,让他们在此基础上去专心构建数学大厦而不是陷于形而上的讨论。 但如果继续问下去,既然这些数学真理是独立人脑而客观存在的,那它们究竟存在于哪里呢? 我们生活的“世界”似乎并没有它们“存在”的容身之所。

其实,这个问题的“纠结之处”在于两点:一是什么叫世界,二是什么叫存在。 在现代数学之前,数学研究的对象基本是可以和物理世界对应起来的,所以那个时代,我们也不大需要这种数学柏拉图主义(除了数学精确性问题)。 这就像,为什么没有人问,物理规律存在在哪里? 我们也要说,它独立人脑存在于某处吗? 我们没有必要这么做,因为物理世界的各种现象无时无刻不在体现着这些规律。 到了现代数学则不同:它可以构造出在物理世界里完全不可能的存在或过程,比如克莱因瓶,比如巴拿赫和塔斯基提出的“分球怪论”。 这样,人们就可能问,这个定理表达的内容是真实的吗? 为了回应类似的问题,数学家提出了现代数学柏拉图主义。

为了解决我们的困惑,首先我们可以考虑我们的经验世界。 我们大脑里关于外部世界的一切知识都来自于经验,我们用这些经验构建出了一个“感官世界”。 虽然我们在任一时刻都只能看到这个世界的极小一部分,这不妨碍我们去想像任何其它部分。 比如我们要去一个熟悉的地方,我们就知道应该怎么走,因为虽然我们当下没有感觉到那个地方和去那个地方的路,我们以前去过。 大脑使用我们以前的经验“构造”出了一个比我们当下直接感觉到的世界更大的世界,我们也经常下意识的认为它是如此的真实。 我们甚至可以不用经验,仅仅用学过的知识,就建构更大的世界框架:那里有我们从未去过的国家,那里有我们从未自己观察过的恒星甚至黑洞。 其实,如果我们沿着我们习惯走的路,不一定就能起到我们那个熟悉的地方:那条路可能被封了。 我们甚至也不能确定那个熟悉的地方就一定还存在:它可能已经被拆了。 如果按照严格的怀疑主义,我们不能确认我们当下正在观察的事物的存在性,我们甚至无法知道我们正在进行的观察是否包含伪装和欺骗,也无法确认我们自己的存在是不是真实的存在。 但如果我们严格到这种程度,不接受任何假设,那我们什么推理都无法进行,什么知识都无法获得。

所以,一般来讲,我们虽然曾经认识过,但当下不在我们五感感受范围之内的东西,我们倾向于假定它存在; 甚至只要我们以前曾经成功地想像过,我们就承认它的存在,即使意识当下没有思考和那个世界有关的任何事情。 与此类似,一条物理定律,虽然我们没有正在验证它,甚至很久都没有验证过它,我们倾向于相信它仍然有效。 所以不借助想象,就不存在什么“世界”,而只存在当下五感的感知。 在自然科学中其实也是这样,大部分自然科学家假定外部物理世界包括三部分:1. 他可以直接观测到的世界;2. 他借助现有科学手段可以观测到的世界;3. 他借助未来的、尚未发明出来的科学手段可以观测到的世界:这部分在我们得到了终极物理规律之前必须存在,否则物理学家就失去了研究的对象。 在他亲手做的实验外,他用从书上看来的知识,加上他对尚未明确认识的世界的某种理解,建构出了一个“物理世界”。 世界甚至不必须存在在意识里:它可以整个地被存储在记忆里。 严格地讲,我们对世界的“图像”只是一种近似:它目前不一定是我们所想像的那样,只是极大概率如此。 虽然这种近似的模型几乎一定有效,我们也不能忽略逻辑上的可能性:有些时候我们必须要采取严格的怀疑主义。 比如在理解量子力学的波函数塌缩时,怀疑主义的观点就派上了用场:我们首先仅承认目前我们测量得到的结果(假定测量是没有问题的),然后在这个最严格的假设下,我们再去试图添加理论的构造,而不是相反。

现在我们回到数学的实在性这个问题上来。 我们在研究一个三角形,我们实际做了什么呢? 我们事实上做的是:我们想像出了一个二维的欧氏平面,在这个平面上只存在一个三角形。 我们在研究一个多面体里,也事实上是想像出一个三维的欧氏空间,在这个空间内只存在一个多面体。 从另一个角度来看,它们都各自是一个“静态”的世界。 如果它们各自符合一定的演化方程,那它们就变成了动态的世界。 同样,我们在使用牛顿力学研究一个物体运动时,实际上做得也是构造一个世界:先构造三维的欧氏空间,然后这个空间里只有和这个物体运动有关的几个物体,在加上可能需要的场。 我们在思考这些问题时,都是在那个“建构中的世界”里思考的。 一旦我们建构成功过那个“世界”,我们则倾向于相信如果我们再次建构,也会建构出一模一样的结果,因为这至少是被经验极多次检验的。 我们把这个世界里的结构和存在统称为“世界观”。 当然,这些世界可以“压缩”:我们可以把相同“世界观”下的几何图形放到同一个世界下,我们也可以把具有相同“世界观”下的物理过程放到同一个世界下。 在这种思维下,我们才有可能通过研究个别物理的个别物理现象,来认识整个物理世界。 但是,这种压缩,虽然可行,却不是非做不可的。 我们在思考那个三角形时,明明就是使用的那个二维欧氏平面和平面上仅存的三角形的那个“世界”:那个“世界”本身就是存在,是我们想像过、但从未整体观察过的“宇宙”同等的存在。

这样,现代数学的实在性问题就容易解释了。 每一个数学定理,在它的题设部分,都给定了它的“世界观”,然后在结论部分,给定了这个世界观下的一个事实。 所以,我们完全可以认为,每一个数学定理,都和一个世界一一对应。 具有相同“世界观”的世界可以被压缩:使用完全相同公理的世界有相同的世界观。 使用几套不同但彼此相容“世界观”可以融合形成新的“子世界观”:“子世界观”可以继承“父世界观”里的事实。 这正是现代数学真正做的事情:比如我们可以给一个数学“世界观”赋予一个代数结构和一个分析结构:只要后两者是彼此相容的“世界观”,像在李群那里那样。 我们完全不必把所有的数学事实压缩到同一个世界里,那样我们只能把所有数学事实“对象化”为黑盒子,再把它们装到这个像仓库一样的世界里,说它们在那里存在。 这完全是多此一举的,也没有任何的美感。 要使用奥卡姆剃刀,也应该剃掉这个仓库世界,而不是那些结构精致、在我们大脑里实际构想过的世界: 并非使用世界的数量少的体系就一定好,这就好比假定上帝操控所有那个只有一条假设的世界观很不符合我们的审美品味一样。 我们宁肯保留数量庞大的数学世界,也不愿把它们进行压缩来得到模棱两可、似是而非的世界:这不符合数学本身的审美,也不符合逻辑的审美。

在数学里我们可以有很多个世界,在其它领域也一样。 比如一本童话,就定义了它自己的“世界”:它有它自己的“世界观”、“对象”和“事件”。 虽然它的“世界观”放在我们的感知世界里可能是荒谬的,但它本身就是独立的存在,没有必要非要和感知世界的“世界观”相容。 童话的“世界观”里也可能包含逻辑漏洞,但这并没有什么问题:和数学不同,童话本身并不要求它不包含任何的逻辑漏洞。 一门自然语言里存在过(或者记录下的)的口语和/或书面语全体也可以组成一个世界。 这个自然语言世界里存在很多逻辑谬误,很多不符合标准的用法,但那也没有什么问题:它是一个真实的存在,我们也没有必要非要给它强加上语法结构或者逻辑结构,因为那不是自然语言本身所要求的。 当然,我们同样也可以给自然语言加上语法或逻辑的要求,把不符合语法或逻辑的语句筛除在外,构成一个“子语言世界”。 我们可以研究不同群体、不同区域、不同时间的人们使用的语言,构成很多其它的“子语言世界”。 我们可以把任何“子语言世界”作为研究对象,甚至把世界上所有语言构成的“超语言世界”作为研究对象。

总之,意识可以轻而易举地构造出一个世界。 如果我们承认了这个事实,不去随意地把不同的世界压缩到一起,而是指向到确定的世界,可以避免很多模棱两可的问题和似是而非的争论。