第五章:数与量

数的建构

有了彼此互相相等的“标准单元”,逻辑就可以开始建构,比如自然数、有理数、实数等等。 最简单的就是自然数。

无论如何,在我们对抽象对象进行加法运算时,指的都是在相同抽象等级下的对象,所有对象对应的直观图像都是相同的。 所以,使用相同抽象等级时,自然数加法运算的意义是明显的,对应的直观图像是清楚的,比如,一只动物加一只动物等于两只动物。 但如果我们使用不同的抽象等级,意义就变得别扭,比如,一只猫加一只狗等于两只动物,或者,一只猫加一只动物等于两只动物。 这些当然也说得通,但是我们认为在这些陈述里,我们在无意识里首先进行了隐式的抽象等级变换(把猫和狗首先进一步抽象化为动物),然后再在相同的抽象等级上进行运算。 所以在研究自然数加法运算的实质时,我们只要考虑相同抽象等级下的对象即可。

首先,我要明确地指出,数学和逻辑的规律之所以无误差,是因为它们是我们的思维建构:首先,我们可以精确地控制我们使用的建构材料;其次,我们清楚其中所有的建构细节。 一个人之所以会同意另一个人的数学观点,是因为他可以按那个人说的建构方法自己重新建构一遍,或者操作一遍。 建构自然数时,我们采用离散的对象,比如“抽象的苹果图案”。 并置这些苹果图案,我们可以定义:\(2=1+1, 3=1+1+1, 4=1+1+1+1, 5=1+1+1+1+1, \ldots\), 这些定义只是给并置赋予名字。 所以,\(2+3=5\)说得是\((1+1)+(1+1+1)=(1+1+1+1+1)\)。 也就是,并置两个苹果图案,然后继续并置三个苹果图案,得到的图象,和直接并置五个苹果图案是相同的。 这个等式的合法性是由我们再次操作的等价性确立的,而完全不是康德所说的\(7+5=12\)是先天综合判断:他说,从7和5怎么分析也分析不出12来。 实际上,我们定义好7、5、12,定义好加法,定义好等号,这个算术等式就是分析的结果。

事实上,我们还可以使用皮亚诺算术,使用递归的方法而不是并置的方法来对自然数加法进行建构证明,这样做的好处是可以摆脱对直观的依赖。 从本质上来说,并置三个苹果图案,和按次序摆三个苹果图案,最终的结果是没有差别的,对加法运算也没有影响。

康德的时空、感觉的时空

康德那个“先验”的时空,就是上节我们构建出来的线性时空。 那个时空,也是经典物理学使用的时空。

首先,这个时空不是我们感觉中的时空。 在我们的视觉感知中,从来都是近大远小,更类似于绘画里的透视。 然而,我们闭上眼睛随便想一想任何对象,都会表现出平直的欧氏空间的样子。 试想,如果我们自然想到的是透视下的空间,我们甚至根本就不会认同欧氏几何里的平行公理,因为在透视下,两条平行线随着距离的增加,它们的距离越来越近。 当到了足够远的距离后,两条直线上相应的点,在视网膜上的像变成了同一个象素点。 那调整一下角度,在我们前面成锐角的直线会不会看起来平行呢? 我不打算讨论这个问题,因为显然,在我们设想欧氏空间的几何体时,决不是在意识的层面对透视下的图象做修正:那将是比那些几何入门内容复杂得多的问题。

所以,一个小学生在课堂上听到立方体,不管是书上画的,还是他脑子里想的,都是欧氏空间中的立方体。 我们看小孩画的画,也可以间接地认识小孩头脑里的世界。 小孩画的画,表现出一个他头脑中鲜明的对象化,而且各对象是在一个平直空间中罗列:它基本从来都不是透视的。 相反,透视这个在感官上“客观”的空间,我们却要在反思中认识:要画透视的画我们还要进行细致的观察和学习。

由此我们可以推断,意识下面必然有一个下属部门预先处理了这些信息,然后交给意识一个处理后的欧氏空间的结果。 这个下属部分比较复杂:它显然不仅有关现时的视觉。 要得出欧氏空间的那个结果,它需要动用记忆,把目前的视觉和以前记忆中的视觉印象相比较,它甚至还需要考虑位置和角度的变化,或者调用其它的感官。 比如我们面前有一个正方体。 我们在任何一个给定时刻只能得到它的一幅透视图。 为了知道它到底是什么样子的,我们会换个角度去看它,会用手变换角度地去触摸它。 最后,我们总结了所有这些信息,得出“这是一个正方体”的结论。 这里我们显然也用到了“相等倾向公理”,但在这里更重要的是,我们综合了不同时刻下的五感。 在这个过程中,意识本身只完成了一小部分工作:大部分工作都是意识之下的下属部门完成的。

这种“欧氏时空”在我们的大脑里如此根深蒂固,以至于具有强烈逻辑倾向的理性思维,都会把它接受来当成公理。 这种公理体系对我们是如此的自然,以致于我们学习起欧氏几何是如此的轻松:那里没有任何违反直觉的东西,它甚至严格地表述了我们的直觉。 以前从来没有接触过几何学的康熙皇帝,也会对几何学产生强烈的兴趣。 苏格拉底甚至向我们展示,一个没学过几何学的小孩儿,在他底的启发式的提问下,知道了如何计算正方形的面积。 由此,柏拉图认为这小孩儿本来就具有这些知识,只是忘记了,在苏格拉底的启发下又回忆起来了。 与此相反,换一种时空,我们就理解起来就很困难,纵使我们花了很多的努力。 纵是一个理论基础很扎实的大学生,也不大可能在教授的启发下“回忆”起广义相对论所使用的黎曼几何。 事实上,即使是爱因斯坦,他虽然自发地强烈感觉他需要黎曼几何那样一种东西,也极力地想把它建立出来, 他也不能“回忆”出这套数学理论:他不得不去请教希尔伯特之类的数学家。 我们学习非欧几何,能做的只是按照逻辑一步一步地去理解,然后小心翼翼地去建立直觉。 从“外在”的角度去研究,我们尚可把它放到更高维的欧氏时空里去理解;如果从“内在”的角度去研究,我们则连这样做也不可以,从而更难建立起对它的直觉。

所以,虽然从公理化数学的角度来看,欧氏时空并没有什么特别:它所使用的公理只是无数可能中的一种, 但对于人类而言,欧氏时空有着不可替代的特殊性。 这不仅仅表现为他符合人的直觉,学习起来比较容易,而且表现在,它本身就是人类构建数学的方式。 我们建构自然数、整数、有理数以及实数,本身使用的就是对欧氏空间的直觉。 所以自然地,我们处理欧氏空间也简单得多。 在现代系统理论里,线性系统要比非线性系统容易处理得多,不管在理论分析上还是在实际计算上。 究其根本,人类所有的基本运算都是定义在线性空间上的,对分析结果的直观认知一般也是在线性空间上,所以人类处理线性问题比较简单,是理所当然的。 但是,“线性系统比非线性系统简单”这个事实只是指向人类“用数学方法构建出的物理模型世界”,而不是指向“真实的物理世界”。 我们很难说,在“真实的物理世界”里,非线性系统比线性系统更复杂:因为在那里,与其说是物体遵循计算结果,我更倾向认为,是物体的运动自动地符合了规律,而无需任何的分析和计算。 试想,如果真实物理世界也是通过计算得来的,即使是模拟一个小小的原子,还需要极快的速度,那需要花费我们多少的计算资源呢? 要模拟整个世界,需要比一个比这个世界大多少倍的“计算机”? 要运行那个“计算机”又需要另一个比它还大多少倍的“计算机”? 如此循环下去,就产生了一个爆炸式、无穷嵌套的世界链。 我不否认任何可能性,但这种可能性在我看来是极低的。 从审美上来讲,这个方式显得非常“人工”(artifical)而不自然。

所以,康德的“先验”时空虽然不符合现代物理学,但它符合人脑的认知方式。 因此,它并不是错误的,而只是,它指向的是直观的世界和数学(基础部分)的世界,而非物理世界。 我猜想它应该能够和意识的某种下属部分的功能和结构对应起来。 所以,它确实是康德讲的“先验”的:它需要从经验里得到对象进而抽象出建构材料,但使用这些材料如何建筑,是由大脑本身的结构决定的。 这正类似于一台计算机,如果我们不给计算机输入任何的指令,它就不会做任何事实,但是计算机里的硬件决定了它对指令会产生一定的反应。 从这个角度来说,人脑和计算机非常类似。 婴儿在接收任何的外部刺激以前(虽然实际不可能,在出生之前他就会接收触觉的刺激),他的脑子里就不会有任何实在的对象和概念:这正像一台计算机裸机。 从婴儿开始有五感来认识世界直到婴儿学会了说话、数数以及其它一些极为根本的东西,比如各种运动,这大概对应了给计算机装上操作系统的过程。 婴儿之所以可以自发地学习,也可以学会我们教给他的东西,归根结底,是因为他脑子里有决定他可以这样做的“硬件”。 这正好比,我们可以给计算机装上操作系统,而不可以给石头装上操作系统。 如果一个“软件”所使用的指令与实际硬件的指令集非常相配,那这台机器运行这个软件就是很容易的:这类似于我们研究线性系统时的情况。 当然,它也不是不可以运行对于它特别“陌生”的指令,它甚至可以模拟另一个完全不同的操作系统,只是效率会变得极为低下:这类似于我们研究非线性系统或非欧几何时的情况。

量与测量

完全精确的知识,只有逻辑学和数学。 人的逻辑倾向,为了尽量精确地研究具体对象,就尝试把数附加于具体对象之上:这就是量,比如体积、质量、能量、温度、时间、位置、速度、加速度等等。 量,来自于人们对感觉世界里对象的测量。 量的定义,决定于我们的测量方式。 要测量,我们就要有一个标准:比如我们用尺子测量长度,用钟测量时间,用温度计测量温度,等等。

所以,量的本质,是使用数来表示具体对象某一方面的性质。 我们一定要注意量与数的差别:数是大脑的概念构造,而量是用测量的方法把对象的某一种性质和数对应起来。 严格地来说,对于数,我们可以推导,但对于量,我们只能观测。 只有当大量的观测结果向我们显示出这些量之间符合一定的数学规律后,我们才能用这个数学规律对量的方程进行推导。 我们尤其不能想当然地认为观测的量自然地组成一个欧氏空间。

我们在进行量化时,我们要定义单位量,并规定如何验证其它量与其相等的方法。 在人的五感中,只有借助视觉,我们才可能定义相等。 其它的四种感觉相对来说缺乏精确性和客观性。 比如,我们借助体感来感受温度,是很不准确的:为了知道更准确的温度,我们就会去看温度计,而温度计就是一种把温度转变成视觉上的刻度的仪器。 我们的味觉和嗅觉则不仅不稳定,也缺乏客观的标准:有的人觉得一个蛋糕很甜,而另一个人可能就觉得不够甜。 人类的听觉倒是在很多方面比上面的三种感觉精确,比如人耳对给非常和谐的纯八度上加上一点搅动,首先就会出现“拍”的听觉,然后就会变得非常刺耳。 但它仍然缺乏绝对性:世界上具有绝对音高能力的人少之又少;对于听觉比较自然的对数空间比平直空间更为难以理解;把其它的物理量直接转化为听觉, 即不是先转化为视觉再转化为听觉,也难以操作。

长度

人类首先发现的,应该是度量空间的方法。 为此,我们可以直接定义一个对象的长度为单位长度。 对一个个体而言,就是我们身体上某部位的长度:比如把一尺定义为尺骨的长度,一寸就是寸骨的长度,一英尺(foot)就是脚的长度。 使用这些单位长度,我们不需要额外的工具就可以对长度进行粗略的测量。 用这种方法来定义单位长度,当然有其局限性:不仅不同人的同一部位的长度一般并不相同,即使一个人同一部位的长度,也会因为年龄的变化而改变。 这样,我们就发明了尺子。 最原始的尺子不一定有刻度:我们只需要统一单位长度。 为了方便测量比单位长度更长或更短的长度,我们就发明了带刻度的尺子。 在华夏文明的范围内,秦始皇统一了度量衡:其中的度就是指长度。 在国际范围内,我们先是使用国际米原器来定义什么是一米,之后转而使用更精确、更普遍的光速来定义1米为“光在真空中于1/299792458秒内行进的距离”。 当然,这个定义里用到了时间单位“秒”,这是我们将在我们下一节要讨论的对象。

时间

人们对时间的直观感受非常不精确。 在我们的直观感觉上,时间是连续的。 但当我们有意识的去认识时间时,我们则至多能认识它的一些离散取样。 在我们做有趣的事情时,我们会感觉时间过得非常快,而我们在等人时,即感觉时间过得非常慢。 在我们睡觉时,我们经常感觉那几个小时好像也就是一小会儿。

人们在类比倾向下,产生了如下的观点:完全相同的事件经过的时间也是相同的。 对于当代的我们,则可以在理论物理的世界中想像,如果支配这个宏观系统的微分方程给定,初始条件和边界条件相同,那系统的行为必然相同。 对于古人,则更多的是一种猜想。 比如他们没有质量的概念:假设太阳的质量是迅速变化的,那用它作参照来定义单位时间就是不理想的。

为了定义单位时间,我们同样需要借助空间。 古人最早大概是从日月星辰的的周期性运动,以及四季的周期性变化,来认识时间的。 人们发现了日夜交替的周期变化,定义了日。 人们发现了月相的周期变化,定义了月。 人们发现了四季的周期变化,定义了年。 人们感觉太阳和月亮每天匀速的在天穹上运动,所以推断可以用它们来测量时间,也推断它们运动一个周期所需的时间相等。 人们当然也会想办法来用它们更为精确的测量时间,比如在很多古老文明里都有日晷的身影。 星星也会用来标记时间,比如古埃及的人知道,当天狼星在拂晓时从东方地平线升起时(偕日升),尼罗河的河水就泛滥了:他们把这定为一年的开始。

相当,用自然现象定义单位时间,多少有些不可控,日月星辰的匀速运动假设也并非完全精确。 在夜晚或者在阴天时,我们就无法使用太阳在天空中的位置来推测时间了。 于是,人们就开始研究用其它方法来定义单位时间。 在“完全相同的事件经过的时间也是相同的”这个观点的指引下,人们用可重复的物理事件来定义单位时间。 比如,人们可以把单位时间定义为,比如,沙漏里沙子从一个流沙池完全流到另一个流沙池所需的时间;一支蜡烛被烧光所需的时间,一柱香被烧光所需的时间,一漏壶的水滴完所需的时间,等等。 为了计量时间,我们只需在沙漏流完后反转沙漏,或者制造相同规格的蜡烛或香,烧光一支后点燃另一支。 当然,这些计量工具本身还可以被加上刻度用来测量更短的时间。 总而言之,用于定义单位时间的物理事件需要具备三个条件:

  1. 事件本身必须具备可重复性。

  2. 明确的事件起点。我们可以以一个动作为起点:比如反转沙漏、比如点燃香或者蜡烛。我们也可以把视觉观察作为起点,比如香烧到了“开始”的那个刻度。 用视觉或听觉来观察来确定起点的方法更多地被用在周期性的计时工具上,比如使用钟表,我们就可以把再次发出“嘀嗒”声音的时间间隔定义为一秒。

  3. 明确的事件终点。最简单的,是我们明确地看到沙子或水漏完了,蜡烛或香烧完了。 当然这在实际使用中很不方便。 所以古人就有了很多有趣的发明:比如中国的古人在香的某个刻度上挂一个金属球,当香烧到这个地方时,金属球就掉到一个金属盘中,发出声音。

随着人类科学的进步,人们发明了周期性的计时工具,比如机械钟、摆钟、石英表、电子表、原子钟。 它们更为方便实用。 在当代科学中,我们则使用了原子能级跃迁发出电磁波的周期来定义单位时间。 本书不打算讨论具体的细节:有了单位时间,时间就可以被量化了。

温度

人类对温度的感知并不精确。 我们的体感杂糅了温度、湿度、风速、大气压等因素,我们的温度感觉甚至与我们是饥还是饱有关。 为了客观地测定温度,我们发明了温度计:它用液体/气体热胀冷缩的性质把温度变化转换为体积变化,进而转换为长度变化。 所以,作为量的温度,不再与我们的体感直接相关。 从10℃变到20℃,与从20℃变到30℃相比较,我们只能说,温度计中液体的体积增加值相等,而决不意味着,我们身体感受到的温度变化相同。

很多中学生都会对“温度有一个下界”这个事实感到奇怪。 其实抛开绝对零度的物理意义来说,我们只要分析温度的测量方法,就可以知道它必然存在一个下界。 这是因为,温度的线性降低,意味着体积的线性降低。 假设我们假一种永远不会凝固的“理想”的液体做温度计,那我们就容易得知“温度有下界”是“物体的体积不能为负”的必然结论。 之所以我们会感到“温度有下界”这个事实比较奇怪,是因为我们习惯于想当然地把欧氏空间的结构赋予一个量。 当然从数学上来讲,我们其实很容易改变温度的定义把它的范围改变成\(-\infty\)\(+\infty\),因为我们很容易在两个开区间上建立一个一一映射。

质量和力

定义任意一个物体的质量为单位质量,我们就可以用天平来确定另外一个物体的质量是否与其相等。 这看起来很简单。 但事实上,我们经常混淆惯性质量和引力质量,因为我们从来没有发现它们不相等的经验。 上面的测量方法只是测量引力质量的方法。 要测量惯性质量,我们则应该依照惯性质量的定义,先分别测量力和加速度,再计算出惯性质量(牛顿力学)。 这从逻辑上和引力质量没有任何关系。 我们相信它们相等,甚至经常认为它们是同一个量,仅仅是因为这个等式甚至混淆经受住了经验的考验。 所以,“惯性质量=引力质量”本身其实就是一条基本的物理定律,因为我们不能从逻辑推出它,而只能在经验中验证它。

我们也可以通过测量力来间接地测量质量。 测量力,我们就需要测量力直接或间接地转换成空间上的变化,比如我们可以使用弹簧秤和应变片等工具。

小结

有了上面物理量的测量方法,我们就可以测量其它的物理量。 比如通过电磁力或者电流的热效应,我们就可以定义单位电流,进而测量电流。

当然,当代物理学会使用更客观的方法来对物理量进行测量。 比如使用光速,特定电磁波的周期,基本电荷等基本物理量来给出尽量客观、尽量不随时间变化的单位量。 我们的讨论则相反,因为我们遵循的是认识发生顺序原则,进而来讨论用量来认识世界从根本上是如何可能的。